34 Питання.

Висловлювання (прості та складні висловлювання, значення істинності, пропозиційні зв’язки). Формули логіки висловлювань. Загальнозначущі, тотожно хибні, виконувані формули.

Твердження або висловлювання – це думка, в якій стверджується наявність або відсутність яких-небудь фактів або зв’язків між фактами.

Просте висловлювання – це просте розповідне речення, про яке можна сказати, що воно є або істинним, або хибним, але й не те та інше одночасно.

Значення “істина” чи “хибність”, яких набуває висловлювання, називають його значеннями істинності.

Складні висловлювання складаються з простих за допомогою логічних операцій: заперечення ( ¬ ), кон’юнкції (& або ∧ ), диз’юнкції ( ∨ ), імплікації ( → ), еквівалентності (~ або ≡ ). Символи операцій називають пропозиційними зв’язками.

Тотожньо істинна формула називається тавтологією або загальнозначущою. Тотожньо хибна формула називається суперечністю. Формула, яка приймає істинне значення хоча б на одній своїй інтерпретації, називається виконуваною.

35 Питання.

Логічне слідування. Теореми про зв’язок логічного слідування та тавтологій (з доведенням). Правила виведення (Modus Ponens, підстановки, еквівалентної заміни, з доведенням).

Якщо A та B – формули, то кажуть, що B логічно слідує з A, або з A логічно випливає B, якщо всюди де A приймає істинне значення, B також приймає істинне значення. Це позначається як A├ B або A⇒B. Кажуть, що логічне слідування зберігає істинність.

Логічне слідування A├ B виконується тоді і тільки тоді, коли формула A → B – тавтологія.

Доведення. Нехай логічне слідування A├ B виконується. Це означає, що на всіх інтерпретаціях, на яких формула |A| = T, формула |B| = T, відповідно, |A → B| = T. Якщо формула |A| = F, то |A →В| = T незалежно від значень B, відповідно, формула A → B – тавтологія.

A 1 ,...,A n ├ B тоді і тільки тоді, коли A 1 ∧ ... ∧ A n → B – тавтологія. (2) A 1 ,...,A n ├ B тоді і тільки тоді, коли A 1 ∧ ... ∧ A n ∧¬ B суперечність.

Доведення. Частина (1) доводиться аналогічно попередній теоремі. Доведемо частину (2). З частини один маємо, що A 1 ,...,A n ├ B тоді і тільки тоді, коли A 1 ∧ ... ∧ A n → B. За означенням тавтології, маємо, що ¬ ( A 1 ∧ ... ∧ A n → B) – суперечність. Звідси маємо: ¬ ( A 1 ∧ ... ∧ A n → B) = ¬ ( ¬ (A 1 ∧ ... ∧ A n ) ∨ B) = ¬¬ (A 1 ∧ ... ∧ A n ) ∧ ¬ B = A 1 ∧ ... ∧ A n ∧¬ B

(правило modus ponens). Якщо A – тавтологія і A → B – тавтологія, то B – тавтологія, тобто якщо ├ A та ├ A → B, то ├ B.

Доведення. Припустимо, що на деякій інтерпретації |B| = F. Тоді |A → F| = T на тій же інтерпретації (за умовами теореми). Відповідно, |A| = F, що неможливо, так як A – тавтологія.

Якщо A – тавтологія, що містить пропозиційні змінні x 1 ,…,x n , то формула B, яка отримується з A підстановкою формул A 1 ,...,A n замість кожного входження x 1 ,…,x n відповідно, також буде тавтологією.

Доведення. Нехай задано істинний кортеж значень пропозиційних літер, що входять у

B. Формули A 1 ,...,A n для цього кортежу приймуть деякі значення

δ₁ ,...,δ_n , де δ_i є T або F. Якщо такі значення надати пропозиційним літерам x 1 ,…,x n , то значення формули A співпаде зі значенням формули B. Так як A – тавтологія, то значення B на цьому кортежі буде Т. Таким чином B на довільному істинному кортежі буде приймати значення Т. Відповідно, B – тавтологія.

(правило еквівалентної заміни). якщо є тавтологія A, то в ній є підформула A 1 , і якщо замінити A 1 на

еквівалентну їй формулу B 1 , то отримана формула B буде еквівалентна A.

Доведення. Розглянемо довільний кортеж пропозиційних літер, що входять до A, B, A 1 , B 1 . Якщо при цьому кортежі A 1 та B 1 мають різні значення, то |A 1 ~B 1 | = F і, відповідно, ((A 1 ~B 1 ) → (A~B)) набуде значення T. Якщо ж A 1 та B 1 набувають однакових значень, то однакові значення істинності приймуть A та B, так як B відрізняється від A тільки тим, що деякі входження підформули A 1 замінені в ній на B 1 , яка має теж саме значення істинності. Відповідно, в цьому випадку, якщо |A 1 ~B 1 | = T, то й |A~B| = T, і ((A 1 ~B 1 ) → (A~B)) є тавтологія.