31 Питання.

Нечіткі множини (характеристичні функції, приклади). Характеристики нечітких множин (висота, носій; унімодальні, нормальні, субнормальні, порожні нечіткі множини, точки переходів).

Нехай U – універсальна множина, x – елемент U, а P – певна властивість. Звичайна (чітка) підмножина A універсальної множини U, елементи якої задовольняють властивості P, визначається як множина впорядкованої пари A = {µ A (x) / x}, де µ A (x) – характеристична функція, що приймає значення 1, якщо x задовольняє властивості P, і 0 – в іншому випадку.

Наприклад, маємо множину молодих людей. Людина вважається молодою від 0 до 20 років. Але це ж не означає, шо в 20 років і декілька днів або ж в 21 рік людина вже не є молодою. Це і є нечітка множина.

Нехай M = [0, 1] і A – нечітка множина з елементами універсальної множини U і множиною приналежностей M.

Означення 13.3. Величина називається висотою нечіткої множини A. Нечітка множина A є нормальною, якщо її висота дорівнює 1. При µ A (x)<1 нечітка множина називається субнормальною.

Нечітка множина є порожньою, якщо ∀ x ∈ U µ A (x) = 0.

Елементи x ∈ U, для яких µ A (x) = 0,5 називаються точками переходу

множини A.

Розглянемо множину U = {0, 1, …, 10}, M = [0, 1]. Нечітку множину, яка відповідає терміну «декілька», можна визначити таким чином: «декілька» = {0,5/3, 0,8/4, 1/5, 1/6, 0,8/7, 0,5/8}. Таким чином, числа 5, 6 – це 100% «декілька», 4 і 7 – це «майже декілька» та 3 і 8 – це «схоже на декілька». Характеристики цієї множини: висота – 1, носій – {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки переходу – {3, 8}.

32 Питання.

Включення нечітких множин. Операції над нечіткими множинами (приклади). Властивості операцій над нечіткими множинами (з доведенням).

Перетином (або перерізом) двох нечітких множин називається найбільша нечітка множина, яка міститься одночасно в A і B. Позначається перетин A ∩ B.

Об’єднанням двох нечітких множин називається найменша нечітка множина, яка включає як A, так і B. Позначається об’єднання A ∪ B.

Різницею двох нечітких множин називається нечітка множина A\B, яка має характеристичну функцію:

∀ x ∈ U µ _A\B (x) = min{ µ _A (x), 1 – µ _B (x) }.

Диз’юнктивною сумою двох нечітких множин називається нечітка множина A ⊕ B, яка має характеристичну функцію:

∀ x ∈ U µ _{A ⊕ B} (x) = max{ min{ µ _A (x), 1 – µ _B (x) }, min{ µ _B (x), 1 – µ _A (x) } }

33 Питання.

Логіка. Принципи логіки (тотожності, несуперечливості, достатності засновків).

Логіка – наука про правильні міркування, про засоби та методи пізнання за допомогою міркувань.

Принцип тотожності. Істинність фактів, які лежать в основі висловлювань та міркувань, встановлюється на основі дійсності, відомих законів, спостережень. Якщо істинність якого-небудь факту встановлена, то вона не піддається сумніву і не змінюється у процесі міркування. Це означає також, що один й той самий термін використовується завжди в одному й тому самому сенсі.

Принцип несуперечливості. Цей принцип означає, що, стверджуючи що-небудь, неможливо заперечувати теж саме. Один й той самий факт (висловлювання) не може бути одночасно істинним та хибним.

Наприклад, висловлювання Сократа “Я знаю, що нічого не знаю” суперечливе, так як одночасно стверджує і заперечує один й той самий факт: якщо Сократ знає, що він нічого не знає, то він не знає також й цього. Згідно принципу несуперечливості, з розгляду вилучаються такі висловлювання, істинність або хибність яких не може бути встановлена.

Принцип достатності засновків. Довільне висловлювання може бути обґрунтоване,тобто істинність твердження не можна приймати на віру. Якщо твердження виводиться з яких-небудь суджень, даних, фактів – засновків, то їх має бути достатньо для встановлення істинності твердження.