22 Питання
Булеві функції (означення кортежу). Кількість булевих функцій від n змінних та кількість значень булевої функції від n змінних (з доведенням). Булеві функції від двох змінних (навести всі).
Функції f: E 2n= → E 2 , де E 2 = {0, 1}, називаються функціями алгебри логіки або булевими функціями. Множину булевих функцій від n змінних будемо позначати P n : P n = { f | f: E 2n → E 2 }.
Сукупність значень аргументів функції є кортежем або набором.
Кількість наборів булевої функції f(x 1 ,…,x n ) від n змінних дорівнює 2n. Кількість булевих функцій від n змінних дорівнює 22n
23 Питання.
Суттєві та фіктивні змінні булевих функцій. Симетричні змінні. Рівні булеві функції. Реалізація булевих функцій формулами (різниця між функцією та формулою, підформули, операції отримання формул, рівносильні формули).
Функція f(x 1 , x 2 , …, x n ) суттєво залежить від змінної x i , якщо існує такий набір значень a 1 , …, a i-1 , a i+1 , …, a n , що f(a 1 ,…, a i-1 , 0, a i+1 , …,a n ) ≠ f(a 1 ,…, a i-1 , 1, a i+1 , …,a n ). В цьому випадку змінна x i називається суттєвою змінною, інакше x i називають несуттєвою (фіктивною) змінною.
Нехай L – деяка (не обов’язково скінченна) підмножина функцій з P, L ⊂ P (базис). Кожна функція f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) з L (f ∈ L) називається формулою.
Нехай також A 1 ,…,A n – вирази, що є або формулами, або символами змінних. Тоді вираз f(A 1 ,…,A n ) також називається формулою. Нехай F – довільна формула. Тоді формули, що використовувались для її побудови, називаються підформулами формули F.
Очевидно, кожна формула може бути здобута з функцій, що належать їх множині, застосуванням спочатку операції безповторної підстановки функції, а потім операції підстановки змінних.
Формули F 1 та F 2 називаються рівносильними, якщо при будь-яких значеннях змінних x 1 ,…,x n , що входять у ці формули, вони набувають однакових значень.
24 Питання.
Проблема розв’язуваності (тотожно істинні та хибні формули). Розвинення булевої функції за змінними (з доведенням, наслідки).
Формула називається тотожно істинною, якщо вона при всіх значеннях змінних, що входять у неї, набуває значення 1. Формула називається тотожно хибною, якщо вона при всіх значеннях змінних, що входять у неї, набуває значення 0.
25 Питання.
Диз’юнктивна та кон’юнктивна нормальні форми (мінтерм, макстерм). Досконалі форми. Властивості досконалих форм. Теорема про подання будь-якої булевої функції у вигляді досконалих форм (з доведенням). Побудова досконалих форм за таблицями істинності.
Якщо функцію задано формулою у вигляді диз’юнкції елементарних кон’юнкцій, то її задано диз’юнктивною нормальною формою (ДНФ).
Мінтермом називають булеву функцію, що представлена у вигляді елементарної кон’юнкції, яка набуває значення 1 тільки на одному з кортежів своїх змінних.
Якщо функцію задано формулою у вигляді кон’юнкції елементарних диз’юнкцій, то її задано кон’юнктивною нормальною формою (КНФ).
Макстермом називають булеву функцію, що представлена у вигляді елементарної диз’юнкції, яка набуває значення 0 тільки на одному з кортежів своїх змінних.
Досконалою диз’юнктивною нормальною формою (ДДНФ) булевої функції називається диз’юнкція тих конституент одиниці, які перетворюються в одиницю на тих самих наборах змінних, що й задана функція.
Досконалою кон’юнктивною нормальною формою (ДКНФ) булевої функції називається кон’юнкція тих конституент нуля, які перетворюються в нуль на тих самих наборах змінних, що й задана функція.
Будь-яка функція алгебри логіки, крім абсолютно істинної й абсолютно хибної, може бути подана в ДКНФ і ДДНФ.
Доведення: 1. Будь-яка булева функція може бути замінена формулою, що містить лише кон’юнкцію, диз’юнкцію та заперечення. Тобто можна зробити такі заміни, що залишаться лише базисні операції.
2. За допомогою закона де Моргана можна зробити такі заміни, що заперечення буде знаходитись лише біля змінних.
3. Розкриття дужок.
4. Видаляються повторні входження змінних.
5.Додаються змінні,яких не вистачає, формула стає досконалою.
6.За допомогою комутативності змінні сортуються в одному порядку. В результаті цього формула набуває вигляду ДДНФ.