1 Питання .

Множини (означення множини, мультимножини). Способи задання множин. Парадокс Рассела (як уникнути парадокс).

«Довільне зібрання певних предметів нашої інтуїції чи інтелекту, які можна відрізнити один від одного і які уявляються як єдине ціле, називається множиною. Предмети, які входять до складу множини, називаються її елементами».

Множина, яка складається з елементів деякої множини S так, що ці елементи можуть входити до складу цієї множини в якій завгодно кількості екземплярів, будемо називати мультимножиною множини S і позначати її M(S).

Способи задання множин

1. Вербальний (словесний) за допомогою опису характеристичних властивостей, які повинні мати елементи множин.

2. Список (перелік) усіх елементів (у фігурних дужках).

3. Предикатний (характеристичний) за допомогою характеристичного предикату.

Парадокс Рассела

Розглянемо множину А всіх множин X, що X не є елементом X, тобто A = {X | X ∉ X}. Якщо множина A існує, то ми маємо відповісти на запитання: А∈А? Нехай A не є елементом А, то за означенням А також є елементом А. З іншого боку, якщо А є елементом А, то А∉А. Отримали логічне протиріччя, яке відомо як парадокс Рассела.

Достатньо заборонити використання множин, які містять самі себе.

2 Питання.

Універсум, порожня множина, підмножини (власні підмножини), рівність множин, булеан (теореми та властивості).

Порожня множина – це множина, яка не містить елементів. Множина A є підмножиною множини В, якщо кожний елемент А є елементом В. Множина А є власною підмножиною В, якщо A ⊂ B і А≠В.

Універсум – множина, що є над множиною усіх множин, що розглядаються.

Дві множини рівні, коли вони складаються з одних і тих самих елементів.

Множину, елементами якої є всі підмножини А, називають множиною підмножин (булеаном) множини А і позначають Р(А). булеан Р(А) містить 2^N елементів.

3 Питання.

Операції над множинами. Діаграми Венна. Властивості операцій (вміти доводити властивості).

Діаграма Венна являє собою схемне зображення множин у вигляді множин точок: універсум U зображується множиною точок деякого прямокутника, а його підмножини – у вигляді кіл у цьому прямокутнику.

Операції на множинами

Об’єднання. А∪В = {x | x ∈ A або x ∈В}.

Переріз. А∩В = {x | x ∈ A та x ∈В}.

Різниця. А\В = {x | x ∈ A та x ∉В}.

Симетрична різниця А÷В = {x | (x ∈ A та x ∉В} або (x ∉ A та x ∈В)).

Абсолютне доповнення А’ = {x | x ∉ A).

Властивості

A ∪ A = A, A ∩ A = A, A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪∅ = A, A ∩∅ = ∅ , A ∪ A’ = U, A ∩ A’ = ∅, A ∩ U = A

A ∪ U = U, ∅ ’ = U, A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’, (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’, A’’ = A