18

1. Виды сигналов, используемых в аналого-цифровом и цифро-аналоговом преобразованиях

Все сигналы можно разделить на четыре класса:

• произвольные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.1 а,б);

• произвольные по величине и дискретные по времени (рис.1.1 в);

• квантованные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.1 г);

• квантованные по величине и дискретные по времени (рис. 1.1 д).

Сигналы s(t) и s′(t), показанные на рис. 1а и рис. 1б, принадлежат одному классу и чаще всего называются аналоговыми, поскольку их можно толковать как электрическое отображение реальных физических процессов. Аналоговые сигналы задаются по оси времени на несчетном множестве точек и являются непрерывными или континуальными. По оси ординат такие сигналы могут принимать любые значения в определенном интервале. Однако, как показано на рис. 1.1 б, функция s′(t) в принципе может иметь и разрывы в некоторых точках (t₁ на рис. 1.1б), поэтому из двух определений – «аналоговые» и «континуальные» для такого рода функций наиболее корректным было бы определение «континуальные». Тем не менее, в дальнейшем изложении для обозначения сигнала s(t), произвольного по величине и непрерывного по времени, будем пользоваться более привычным для специалистов термином «аналоговый».

Сигнал s(nT), показанный на рис. 1.1в, также, как и аналоговый, может принимать любые значения по оси ординат, но по оси времени он определен только для некоторых фиксированных точек, т.е. является функцией дискретной переменной {nT}, где n = 0, 1, 2… , а Т – интервал дискретизации. Такой сигнал называется дискретным, причем в данном случае термин «дискретный» характеризует не сам сигнал, а способ его задания на временной оси. Дискретные не квантованные по амплитуде сигналы используются в системах связи с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ).

Сигнал, показанный на рис. 1.1г, задан на всей временной оси, однако величина его может принимать только дискретные значения. В подобном случае говорят о сигнале, квантованном по уровню. Чтобы отличить дискретность сигнала по уровню от дискретности по времени, термин «дискретный» будет применяться только к дискретизации по времени, дискретность же по уровню будет характеризоваться термином «квантование».

Квантование используют в том случае, когда необходимо преобразовать сигнал в цифровую форму. Для этого весь диапазон изменения величины сигнала разбивают на счетное число уровней и каждому уровню присваивают определенный номер, который затем кодируют двоичным кодом с конечным числом разрядов. Величина сигнала измеряется в заданных точках на оси времени. Такой сигнал – дискретный по времени и квантованный по уровню, называется цифровым. Он показан на рис. 1.1д.

2. Последовательность преобразования аналогового сигнала в цифровой

Рассмотрим в качестве примера преобразование некоторого произвольного аналогового сигнала s(t), спектр которого S(iω) ограничен частотой ω_макс, в цифровой сигнал s_ц(nT), где Т = 1/F_д, а n = 0, 1, 2 …

Преобразование включает в себя три основные операции: дискретизацию, квантование и кодирование. (рис. 1.2).

Операция дискретизации состоит в том, что по заданному аналоговому сигналу s(t) (рис. 1.1а) строится дискретный сигнал s(nT), причем s(nT) = s(t). Физически такая операция эквивалентна мгновенной фиксации выборки из непрерывного сигнала s(t) в моменты времени t = nT, после чего образуется последовательность выборочных значений {s(nT)}. Конечно, на практике такую дискретизацию осуществить невозможно. Реальные устройства, запоминающие значения аналогового сигнала (они называются устройствами выборки и хранения – УВХ), не в состоянии сделать это мгновенно – время подключения их к источнику всегда конечно. Кроме того, из-за неидеальности ключей и цепей заряда запоминающей емкости УВХ, значение взятой выборки s(nT) в той или иной степени отличается от величины исходного сигнала s(t). Тем не менее в абстрактных рассуждениях равенство s(nT) = s(t) считается справедливым.

Теоретически процесс дискретизации можно представить как умножение исходного сигнала s(t) на некоторую решетчатую функцию x(nT) с единичной амплитудой (рис. 1.3). В качестве такой функции чаще всего используют дискретную дельта-функцию δ((n–m)T), которая определяется следующим образом

Тогда операция дискретизации будет эквивалентна амплитудной модуляции дельта-функции δ((n–m)T) функцией s(t)

(1.1)

Спектр S(e^iωT) полученной последовательности s(nT) выразится через преобразование Фурье

(1.2)

а связь между спектрами S(e^iωT) и S(iω) дискретного сигнала s(nT) и аналогового s(t) определится формулой:

(1.3)

Из (1.3) следует, что после дискретизации спектр сигнала s(t) будет «размножен» по оси частот в обе стороны от оси ординат, группируясь вокруг частот, кратных ω_д (рис. 1.4). При этом, в зависимости от знака и величины m, различают:

■ основной прямой спектр (прямая часть спектра) S⁺(e^iωT), который является частью спектра S(e^iωT) сигнала s(nT), полученной в результате дискретизации аналогового сигнала s(t) и расположенной в области нижних частот от 0 до ω_д/2 = π/Т;

■ основной инверсный спектр (инверсная часть спектра) S^–(e^iωT) – это часть спектра S(e^iωT) сигнала s(nT), полученная в результате дискретизации аналогового сигнала s(t) и расположенная в области частот от 0 до –ω_д/2 = –π/Т;

■ сдвинутый прямой спектр (или просто прямой спектр - часть спектра S(e^iωT), удовлетворяющая условию:

S⁺(e^iωT) = , (1.5)

где 0≤ω≤π/Т, а k – целое число;

■ сдвинутый инверсный спектр (или просто инверсный спектр - часть спектра S(e^iωT), удовлетворяющая условию:

S^–(e^iωT) = , (1.6)

где 0≤ω≤π/Т, а k – целое число.

Поскольку дискретный сигнал s(nT) в моменты времени t = nT сохраняет информацию об аналоговом сигнале s(t) и в спектре сигнала s(nT) содержится спектр сигнала s(t), то последний, очевидно, может быть восстановлен. Для этого дискретный сигнал достаточно пропустить через фильтр низких частот, полоса которого соответствует полосе частот исходного сигнала. Тогда спектр на выходе такого фильтра будет идентичен спектру сигнала до дискретизации.

Однако такая операция будет возможна только в том случае, если после дискретизации не произойдет перекрытия основного спектра и соседнего с ним сдвинутого. Если спектры перекроются, то в процессе дискретизации появится множество новых комбинаторных частот, которые попадут в полосу исходного сигнала и никакой фильтрацией избавиться от них уже не удастся (рис. 1.5).

Условие, при котором восстановление исходного сигнала s(t) по его дискретным значениям s(nT) будет возможным, сформулировано в известной теореме Котельникова (теорема отсчетов): «Если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше чем f_макс, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем 1/f_макс секунд. Другими словами, чтобы восстановление было точным, частота дискретизации F_д должна по меньшей мере в два раза превышать максимальную частоту f_макс в спектре преобразуемого аналогового сигнала s(t). Эта предельно допустимая частота f_макс в спектре сигнала называется частотой Найквиста f_н. В связи с этой частотой как в отечественной литературе, так и в публикациях зарубежных специалистов иногда возникают некоторые недоразумения. Нередко частоту Найквиста путают со скоростью Найквиста, которая характеризует минимально возможную для данной частоты Найквиста скорость дискретизации аналогового сигнала и которая вдвое выше максимальной частоты в его спектре (частоты Найквиста). Поскольку на практике исходным параметром при дискретизации какого-либо сигнала служит частота дискретизации, то более корректным следует считать определение частоты Найквиста по заданной скорости Найквиста, а не наоборот, т.е. Частота Найквиста – это та максимально допустимая частота в спектре сигнала, дискретизуемого с заданной скоростью Найквиста F_н, когда еще не происходит перекрытия спектров и связанного с этим явлением возникновения перекрестных искажений.

На практике при дискретизации широкополосных сигналов приходится жестко ограничивать их спектры с помощью высокодобротных фильтров низких частот, которые называются анти-элайсинг фильтрами. Спад характеристики у таких фильтров (как впрочем, и у любых других фильтров) не бывает строго вертикальным. Поэтому реально частота f_макс должна быть несколько ниже частоты Найквиста f_н. Тем не менее при анализе теоретических моделей аналого-цифровых преобразователей часто пользуются понятиями частоты и скорости Найквиста, полагая, что скорость Найквиста F_н – это удвоенная частота Найквиста , т.е. F_н = 2 f_н.

В соответствии с теоремой Котельникова, дискретизацию сигнала s(t), наивысшей частотой в спектре которого является ω_макс = 2π f_макс, можно представить как разложение в ряд

(1.7)

где функция φ_n(t) = sinc(t – n/2f_макс) обладает следующими свойствами:

• в точке t = nT φ_n(nT) = 1;

• в точках t = kT, где k – любое целое положительное или отрицательное число, отличное от n, φ_n(nT) = 0.

Выражение (1.7) полностью определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, поскольку коэффициентами ряда являются значения выборок из функции s(nT).

Системы дискретизации аналоговых сигналов могут быть двух видов:

■ с постоянным периодом дискретизации, как во всех показанных выше примерах (равномерная дискретизация;

■ с переменным периодом дискретизации (адаптивная дискретизация).

В подавляющем большинстве случаев используется равномерная дискретизация – как по причине того, что к ней легче применить математический аппарат, так и по причине того, что устройства для ее осуществления гораздо проще реализовать физически.

После того, как сигнал дискретизован, производится его квантование и кодирование, что, собственно, и является основной операцией при аналого-цифровом преобразовании. На этом этапе по заданному дискретному сигналу s(nT) строится цифровой кодированный сигнал s_ц(nT). Также как и дискретный, цифровой сигнал описывается решетчатой функцией, но в данном случае эта решетчатая является еще и квантованной, т.е. способной принимать лишь ряд дискретных значений, которые называются уровнями квантования (рис. 1.2в). Уровни квантования образуются путем разбиения всего диапазона, в котором изменяется аналоговый сигнал, на ряд участков, каждому из которых присваивается определенный номер. Эти номера кодируются заранее выбранным кодом. Поскольку цифровые системы оперируют с двоичными числами, и.е. числами, выражающимися в виде поразрядных комбинаций всего двух цифр – «нулей» («0») и «единиц» («1»), то номера уровней квантования также кодируются двоичным кодом, а их число N выбирается равным 2^m.

Если сигнал однополярный, то все 2^m уровней будут выражать положительные значения аналогового сигнала, если двухполярный, то одна половина (2^m-1) уровней будет выражать отрицательные значения сигнала, другая (также 2^m-1) – положительные.

Квантование может осуществляться двумя способами. При одном способе расстояние между любыми двумя соседними уровнями, которое называется шагом квантования, будет одинаковым, при другом – может отличаться по определенному закону. Способ, когда шаг квантования постоянен, называется линейным квантованием, способ, когда шаг квантования изменяется – нелинейным квантованием. В данном разделе мы будем рассматривать только линейное квантование, с нелинейным же познакомимся несколько позже.

Поскольку аналоговый сигнал в диапазоне своего изменения может принимать бессчетное множество значений, а число уровней квантования всегда конечно, очевидно, что процесс квантования сопровождается появлением неустранимой ошибки, которая называется погрешностью квантования. И действительно, какое бы значение не принимал аналоговый сигнал в пределах одного участка (шага) квантования, оно всегда будет обозначаться одним и тем же кодовым словом, соответствующим, как правило, центру этого участка. Чем дальше значение аналогового сигнала от центра участка, тем большей получается ошибка в его оценке.

Единственным способом уменьшения погрешности квантования является увеличение числа разрядов кода, которым обозначаются уровни квантования. Каждое увеличение разрядности кода на единицу вдвое увеличивает число уровней квантования и, следовательно, вдвое уменьшает погрешность квантования. Но какой бы высокой ни была разрядность кода, погрешность квантования всегда будет присутствовать. В этом состоит основное отличие операции квантования от операции дискретизации. Поскольку при дискретизации s(nT) = s(t) при t = nT, то дискретные сигналы, как и аналоговые, образуют линейное пространство, т.е. линейная комбинация аналоговых (дискретных) сигналов также является аналоговым (дискретным) сигналом. Поэтому для решения задач по их обработке применим аппарат теории линейных цепей.

Цифровые же сигналы, полученные путем квантования, линейного пространства относительно операций сложения и умножения не образуют. Во-первых, процедура квантования почти всегда сопровождается появлением неустранимой погрешности. Во-вторых, линейная комбинация цифровых сигналов, выражаемых m-разрядными кодами, может иметь разрядность большую, чем m и, чтобы получить m-разрядный код результата, приходится выполнять операцию округления и усечения. Поэтому устройства цифровой обработки сигналов, реализующие преобразование одной цифровой последовательности s_ц(nT) в другую s′_ц(nT) путем выполнения обычных арифметических операций сложения и умножения, являются, в принципе, нелинейными.

В связи с вышесказанным следует подчеркнуть одно очень важное обстоятельство. Часто при проектировании систем, включающих в себя устройства аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразований сигналов, полученных в результате ограничения спектра широкополосных сигналов с помощью фильтров низких частот, разработчики переносят утверждение теоремы Котельникова о возможности точного восстановления исходного аналогового сигнала по отсчетам дискретного на результат аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразований, что является в принципе ошибочным.

Во-первых, теорема отсчетов сформулирована Котельниковым только для дискретных сигналов, к которым применимы принципы теории линейных систем, а не для цифровых.

Во-вторых, она справедлива только для случаев, когда спектр S(iω) исходного сигнала s(t) строго ограничен, т.е. S(iω) = 0 при ω>ω_макс (где ω = 2πf – круговая частота аналогового сигнала) и дискретизация его производится с частотой F_д ≥ 2f_макс. Ограничение же спектров реальных широкополосных сигналов с помощью ФНЧ такого тождества обеспечить не может.

Поэтому в том виде, в котором теорема Котельникова сформулирована для дискретных сигналов, к системам, включающим в себя а/ц- и ц/а-преобразования, она может служить только теоретической моделью для очень приблизительных расчетов.

Отношение максимальной величины аналогового сигнала к величине ошибки квантования является одной из важнейших характеристик качества работы системы аналого-цифрового преобразования. Рис. 1.6 иллюстрирует преобразование аналогового сигнала s(t) в системе с линейной шкалой, состоящей из совместно работающих m-разрядных АЦП и ЦАП. Преобразование осуществляется таким образом, что квантованный сигнал принимает значение первого уровня квантования в тот момент, когда сигнал s(t) достигает центра первого интервала квантования, значение второго уровня квантования – когда достигает центра второго уровня квантования и т.д. Очевидно, что ошибка квантования будет максимальной в тот момент, когда сигнал s(t) находится на границе интервала квантования, и величина ее в этот момент будет равна половине величины шага квантования Q (рис. 1.6в).

Если сигнал s(t) имеет высокий уровень и широкий спектр частот, то ошибка квантования превращается в статистически случайную величину и любые ее значения от –Q/2 до +Q/2 становятся равновероятными (рис. 1.7). В подобных случаях – например, если s(t) – сложный звуковой сигнал высокого уровня – ошибка квантования при прослушивании напоминает аналоговый аддитивный белый шум, и по этой причине ее принято называть шумом квантования.

Однако именно звуковой сигнал после осуществления над ним процедур а/ц- и ц/а-преобразования часто приобретает неудовлетворительное качество. Основной причиной такого ухудшения является крайне неприятное слуховое восприятие шума квантования во время фрагментов музыкальной программы с тихим звучанием, когда аналоговый сигнал кодируется малым числом разрядов. Кроме того, причиной ухудшения звучания может быть недостаточно высокая степень подавления составляющих спектра выше частоты Найквиста перед осуществлением аналого-цифрового преобразования.

Как следует из вышесказанного, величина шума квантования не зависит от величины и характера преобразуемого сигнала s(t), а является функцией величины шага квантования Q, который в свою очередь, зависит от количества уровней квантования N или, что то же самое, от разрядности квантования m.

Среднюю мощность шума квантования P(Q) нетрудно вычислить исходя из треугольной формы его зубцов и амплитуды Q/2. Средняя мощность шума за период времени, равный длительности одного зубца, равна (1/3)(Q/2)² = Q²/12. Поскольку от длительности зубца эта величина не зависит, можно принять, что средняя мощность шума квантования

, (1.8)

что полностью совпадает с формулой Беннета.

Максимальное значение полуволны (положительной или отрицательной) аналогового сигнала, квантованного с помощью m-разрядного преобразователя, будет равно 2^m-1Q, а его среднеквадратичное значение, соответственно

. (1.9)

Среднеквадратичное значение шума квантования V_Q равно

. (1.10)

Тогда отношение сигнал/шум

, (1.11)

что в децибелах составит

SNR (дБ) = 6,02m + 1,76. (1.12)

Для упрощения расчетов эту формулу, как правило, округляют до

SNR (дБ) = 6m + 2. (1.13)

Иногда формулы (1.12) и (1.13) используют для определения динамического диапазона а/ц-преобразования, что также представляется логичным, поскольку заданием разрядности m одновременно задается и величина шума квантования.