17. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси.

Моментом количества движения мат.точки относительно центра называется вектор, модуль которого = произведению модуля количества движения на кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора количества движения, I-й плоскости в которой лежат упоминающиеся линии и направленный так, что бы глядя от его конца видеть движение, совершающееся против часовой стрелки.

Моментом количества движения мат.точки относительно оси называется скалярная величена = произведению проекции количества движения мат.точки на плоскость перпендикулярную данной оси и на кратчайшее расстояние от точки пересечения данной оси с этой плоскостью до прямой, на которой лежит прямая вектора количества движения.

Момент количества движения

        кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения. Как и для момента силы ,различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

         Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv. Т. о., k_o = [r · mυ], где r — радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О, a k_z равняется проекции вектора k_o на ось z, проходящую через точкуО. Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m_o(F) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk_o/dt = m_o(F). Когда m_о(F) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняетсяПлощадей закону. Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.

         Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K_o = Σk_oi, K_z = Σk_zi. ВекторK_o может быть определён его проекциями K_x, K_y, K_z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, K_x = — I_xzω, K_y = —I_yzω, K_z = I_zω, где l_z — осевой, а I_xz, l_yz — центробежные моменты инерции (См. Момент инерции). Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K_o = I_zω

17. Мощность. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Предположим, что к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z, приложены внешние силы . Вычислим сначала элементарную работу отдельной силы , которая приложена в точке , описывающей окружность радиусом . Разложим эту силу на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки . Определим момент силы относительно оси z как сумму моментов её составляющих относительно этой оси. В общем момент силы относительно оси Z равен моменту силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z . При элементарном перемещении тела его угол поворота φ получает приращение dφ, а дуговая координата точки - приращение . Вычислим работу силы на этом перемещении как сумму работ трёх её составляющих. Работа сил перпендикулярных вектору скорости точки , равна 0, поэтому элементарная работа силы . Элементарная работа всех сил, приложенных к твёрдому телу , где - Главный момент внешних сил относительно оси вращения z. Таким образом , т.е. элементарная работа сил, приложенных к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота. Мощность вычисляется по следующей формуле: