17. Теорема об изменении момента количества движения точки

Для доказательства теоремы запишем дифференциальное уравнение движения точки (основное уравнение динамики точки) в виде mdV / dt = F. Напомним, что здесь F - равнодействующая сил, приложенных к точке.

Внесем постоянную величину - m под знак производной и, разделяя переменные, получим математическую запись теоремы в дифференциальной форме:

d(mV) = Fdt

(1)

Произведение mV назовем количеством движения точки, произведение Fdt - элементарным импульсом силы (равнодействующей), что позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: дифференциал от количества движения материальной точки равен элементарному импульсу сил, приложенных к точке.

Количество движения материальной точки - это векторная мера движения точки. Направление вектора количества движения точки q совпадает с направлением вектора скорости V. Единицей количества движения является кг·м/с.

Элементарный импульс силы - это векторная мера действия силы, отражающая, что действие силы зависит не только от величины и направления силы, но и от продолжительности действия силы.

Предположим, что за промежуток времени от V₀ до V скорость точки изменилась от до , и при этих предположениях проинтегрируем (1). В результате получаем запись теоремы в интегральной форме:

(2)

Интеграл в правой части (2) назовем полным импульсом силы (равнодействующей) и сформулируем теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно полному импульсу сил, приложенных к точке. Заметим, что импульс силы измеряется в Н·м.

Проектируя выражения (1) и (2) на оси координат, можно получить запись теоремы в дифференциальной и интегральной формах в координатном виде, что предлагается сделать самостоятельно.

На практике теорема применяется, когда интеграл в правой части (2) можно взять, то есть когда F = F(t) или F = const.

Чаще всего теорема применяется для решения задач, когда F = 0 и имеет место закон сохранения количества движения материальной точки. В этом случае определенный интеграл в правой части (2) равен нулю и

mV = const = mV0

(3)

то есть при равенстве нулю равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, ее количество движения остается постоянным, равным своему начальному значению.

Закон сохранения имеет место и при движении вдоль одной из осей, например Ox, когда F_x = 0. В этом случае mV_x = const = mV_0x.

17. Центробежные моменты инерции. Главные оси и главные моменты инерции.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называютсяглавными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.