3. Примеры и правила практического решения задач по разделу 3.

Примеры практического решения задач по темам, указанным в таблице 2.1, и правила их выполнения, приведены в разделе 3 теоретической части данного электронного учебно-методического комплекса (ЭУМК) по 1-ой части дисциплины «Аппаратное обеспечение интеллектуальных систем» в соответствующих подразделах, указанных в таблице 2.3

Таблица 2.3

Номер темы	Решаемые задачи	Номера подразделов теоретической части ЭУМК
3.1	Преобразование логических функций ( применение свойств функций основного функционально-полного набора (НЕ-И-ИЛИ), законов и следствий алгебры логики, представление функций в СДНФ и СКНФ, преобразование функций, представленных в произвольной форме, в СДНФ и СКНФ.)	3.1
3.2	Минимизация логических функций (методы, этапы и применяемые правила минимизации)	3.2.2.
3.2. 3.5.	Синтез комбинационных схем (понятие о комбинационных схемах (КС), этапы синтеза, правила их выполнения, некоторые особые случаи синтеза КС).	3.2.1, 3.2.2, 3.5.2
3.7.	Синтез цифровых автоматов (особенности цифровых автоматов(ЦА), способы описания поведения ЦА, канонический метод синтеза ЦА, пример синтеза ЦА )	3.2.1, 3.2.2, 3.6, 3.7.

Рассмотрим методику выполнения упражнений(заданий), приведённых в таблице 2.2

Пример 2.1

Даны: функции ( )= ( ( )= (0,4,6,7,8,12,14,15), представленные в цифровой форме.

Требуется: записать функции и в СДНФ и СКНФ соответственно, минимизировать эти функции табличным методом и проверить на равенство функции

и

Решение :

1. Определим значение n (количество логических переменных).

Так как максимальный номер набора переменных, на котором принимает значение ^«1^» , равен 13, а максимальный номер набора переменных, на котором функция принимает значение ^«0^» ,равно 15, то для задания этих функций необходимо 4 двоичных разряда и, следовательно, количество переменных n равно 4 – x₁, x₂, x₃ и x_4.

2. Составим таблицу истинности (ТИ) для функций и

j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	11	12	13	14	15
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0
	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0

номер набора логических переменных

Уже на основании таблицы истинности можно сделать вывод, что функции и равны. Проверим это аналитически.

3. Составим на основании ТИ математические выражения для функций и в СДНФ и СКНФ соответственно, используя известные выражения [1,2]:

= (2.1)

= (2.2)

:

+ + +

+ + + +

(2.3)

(2.4)

4. Составим таблицы Вейча-Карно для функций и

10		1	1	1
11		1
01		1
00		1	1	1
	00	01	11	10

10	0
11	0		0	0
01	0		0	0
00	0
	00	01	11	10

Рисунок 2.1а Рисунок 2.1 б

Проведём минимизацию функций и , используя таблицы, приведенные на рисунках 2.1а и 2.1б соответственно. Получим тупиковые формы функций и :

(2.5)

(2.6)

5. Проверим полученные тупиковые формы функций и на равенство. Для этого надо эти формы привести к одному виду – конъюнктивному или дизъюнктивному. Приведём конъюнктивную форму функции к дизъюнктивной форме.

= 2.7)

Как видно из выражения (2.7) ДНФ функции не совпадает с тупиковой формой функции (см. выражение (2.5))

Проверим выражение (2.7) на наличие лишних импликант, используя рассчётный метод минимизации. Проанализируем все члены выражения (2.7)

1. =1 при = 0 и

На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна

1 = , т.е. эта импликанта не лишняя

2. и

На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна

1 = = 1, значит, эта импликанта не влияет на значение истинности функции, приведенной в выражении (2.7) и, следовательно, она лишняя

3. при = 0 и

На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна

, т.е. эта импликанта не лишняя.

Таким образом, получим тупиковую формулу функции в ДНФ:

И это выражение совпадает с выражением (2.5) и, следовательно, функции равны.

Рассмотрим также вариант преобразования дизъюнктивной формы (выражение (2.5)) в конъктивную форму и сравним ее с выражением (2.6)

(2.5)

Применив дважды распределительный закон второго рода, получим

(2.8)

Как видим, выражение (2.8) не совпадает с выражением (2.6). Проведем анализ выражения (2.8) на наличие лишних импликант, используя расчётный метод минимизации. Для этого проанализируем все члены выражения (2.8).

, тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна

(0 +

2) ,

Тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна

(0 + следовательно, эта импликанта не влияет на значение истинности для выражения (2.8) и является лишней.

3) Тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна

) ) = следовательно, эта импликанта не лишняя. Таким образом, получим тупиковую форму функции

. Это совпадает с выражением (2.6) и, следовательно, =

Пример 2.2

Дана: функция , где i – номер функции.

Требуется: записать функцию в СДНФ и СКНФ, минимизировать эти функции табличным методом и проверить результаты минимизации на равенство

и

Решение:

1. Возьмем для примера значение i=46

2. Определим номера наборов переменных, на которых функция принимает значение истинности «1». Для этого составим таблицу истинности для трех переменных

Номер набора переменных	j	0	1	2	3	4	5	6	7
		0	0	0	0	1	1	1	1
		0	0	1	1	0	0	1	1
		0	1	0	1	0	1	0	1
Функция	f	x	x	x	x	x	x	x	x
Вес разрядов 8-ми разрядного числа		128	64	32	16	8	4	2	1
Двоичный код числа 46 (функция )		0	0	1	0	1	1	1	0

3. Запишем математические выражения функции в СДНФ иСКНФ, используя выражения (2.1) и (2.2) соответственно. Получим:

= + + + (2.9)

= ( (2.10)

4. Минимизируем функции (2.9) и (2.10) табличным методом. Для этого составим таблицы Вейча-Карно для этих функций

1	1	1		1
0				1
	00	01	11	10

1			0
0	0	0	0
	00	01	11	10

Рисунок 2.2а Рисунок 2.2б

Используя таблицы Вейча-Карно, приведенные на рисунках 2.2а и 2.2б, запишем тупиковые формы функции в дизъюнктивной (ТДНФ) и конъюнктивной (ТКНФ) формах

= + (2.11)

= ( (2.12)

5. Проверим тупиковые формы функции на равенство (равенство ТДНФ и ТКНФ). Для этого преобразуем ТКНФ функции в ДНФ (можно и наоборот ТДНФ в КНФ)

=( = (2.13)

Как видим, выражение (2.13) не совпадает с выражением (2.11). Проверим (2.13) на наличие лишних имликант расчетным методом минимизации. Для этого проанализируем все члены выражения (2.13)

при , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна

1 + 0 , следовательно, эта импликанта не лишняя.

2) =1 при , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна

1 + , следовательно, эта импликанта не влияет на значение истинности выражения (2.13) и является лишней.

=1 при , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна

1 следовательно эта импликанта не лишняя. Таким образом, получим тупиковую форму функции

= , что совпадает с выражением (2.11) и, следовательно, ДНФ и КНФ функции равны.

Пример 2.3

Дана: функция представленная в произвольной форме.

Требуется: преобразовать функцию в СДНФ и СКНФ, определить значение i, минимизировать функцию в СДНФ и СКНФ табличным методом и проверить результаты минимизации на равенство функции в СДНФ и СКНФ.

Решение:

1. Возьмем для примера функцию , представленную в виде

(2.14)

2. Преобразуем функцию , представленную выражением (2.14), в СДНФ. Это преобразование выполним в 2 этапа.

• На первом этапе снимаем общие и групповые отрицания, применяя законы отрицания. Получим:

(2.15)

Выражение (2.15) представляет собой ДНФ.

• На втором этапе – преобразуем выражение (2.15) в СДНФ, используя правило развертывания для ДНФ. Получим:

(2.16)

3. Преобразуем функцию в СКНФ. Это преобразование выполним в 2 этапа и используем в качестве исходных данных функцию в ДНФ (см. выражение (2.15)).

• На первом этапе преобразуем выражение (2.15) в КНФ. Для этого применим распределительный закон второго рода дважды. Получим:

(2.17)

• На втором этапе преобразуем в СКНФ, используем для этого правило развертывания для КНФ. Получим:

(2.18)

4. Определим значение i. Для этого составим таблицу истинности для функции от 3-х переменных и проставим '0' и '1' для функции в СДНФ и СКНФ в соответствии с выражениями (2.16) и (2.18)

Номер набора переменных	j	0	1	2	3	4	5	6	7
		0	0	0	0	1	1	1	1
		0	0	1	1	0	0	1	1
		0	1	0	1	0	1	0	1
Значение истинности
		0	0	1	1	0	1	0	1
		0	0	1	1	0	1	0	1
Вес разряда		128	64	32	16	8	4	2	1

Сопоставив значение истинности для функции (и и значения весов разрядов, соответствующих единицам ('1') значений истинности, получим, что i=53.

6. Минимизируем функции табличным методом.

1		1	1
0			1	1
	00	01	11	10

1	0			0
0	0	0
	00	01	11	10

Рисунок 2.3 а Рисунок 2.3 б

Используя таблицы Вейча-Карно, приведённые на рисунках 2.3а и 2.4б , запишем тупиковые формы функций

= + (2.20)

( (2.21)

7. Сравним тупиковые формы Для этого приведём эти функции к единому виду. Например, преобразуем выражение (2.21) в дизъюнктивную форму

( =

= + + (2.22)

Видим, что , преобразованное в ДНФ не совпадает с т.е. выражение (2.22) не равно выражению (2.20). Проанализируем выражение (2.22) на наличие лишних импликант (членов). Для этого проанализируем все члены выражения (2.22)

1. = 1 при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна

0 + 1 , т.е. эта импликанта не лишняя.

2. = 1 при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна

0 + , т.е. эта импликанта тоже не лишняя.

3. = 1 при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна

+ , т.е. эта импликанта не влияет на значение истинности выражения (2.22) и, следовательно, является лишней

В результате получим, что выражение (2.22) после удаления лишней импликанты приобретает вид

+ , совпадающий с выражением (2.20)

В заключение рассмотрения примера 3 отметим, что исходная функция может быть задана и без групповых отрицаний. Например в виде

= + (2.23)

Или = ( ) + . ( 2.24)

В этом случае можно сразу начинать преобразование исходных функций в СКНФ и СДНФ, применяя законы и следствия алгебры логики.