22.Метод введения топологии с помощью базы.

Если Утв.1 Пусть x – непустое мн-во β -семейств. Подмн-во мн-ва x, удовл. усл. В1) Uβ=xu В2) V_1, V₂ β и x V₁∩ V₂ ∃U β | x V ⊆ V₁∩ V₂тогда ∃ единственная топология на мн-ве X, такая что β является базой пр-ва (x, ) □ Рассм. семейство опр. по правилу: ∅ , U  x U ∃ U β | x V ⊆ U Покажем, что - топология на X. □ 01) ∅ , x (Из В1) 02) Покажем, что пересечение конечн. совокуп. мн-в из принадл. (□ индук. по числу n мн-в пересек. совокупн.) n=1 – выполн. Пусть утв. верно для сов-тей с числом мн-в n=2. Покажем, что оно верно для совокуп. с числ. n=k+1 Пусть U=U₁∩…∩U_k₊₁ , где U_i , i=1,k+1 Обозн. U*= U₁∩…∩U_k , U* U= U* ∩ U_k₊₁, пусть x U ∃ V₁ β | λ U₁⊆ U* ∃ V₂ β| x U₂⊆ U_k₊₁∃ U β| x U⊆ V₁∩ V_2,V ⊆ U => U

03)Пусть U=VU_t, где где t U_t

Покажем, что U , рассмотрим т.к. ∃ t₀ | x U₀ ∃V β|| x V⊆ U₀V⊆ U ▪ β – база пр-ва (x, )

Лемма: Пусть даны т.п. , x= Семейство β_n подмн-в мн-ва x, сост. Из всех мн-в вида , где i=1,n U_i⊆x_iудл. Условиям B1, B2. □B1: β_nB2: β_n β_n = β_n▪

23 Определение топологии произведения топологических пространств. Теорема о метричности этой топологии. Примеры.

Опр. Пусть даны т.п. , x= Топологией произведения на Х наз. топология _r базу которой образует сем-во β_n

Утв. Пусть – т.п. x= Если каждое из пр-в x: метризуемо метрикой p, то х метриз. метрикой p(x,y)=max p_i(x_i,y_i)

x= y= □ 1)покажем, что p-метрика М1), М2) очевидно М3) p(x,y) ≤p(x,z)+p(z,y) i=1,n p_i(x_i,y_i) ≤p_i(x_i,e_i)+p_i(z_i,y_i) ≤p(x,z)+p(z,y) p(x,y) ≤p(x,z)+p(z,y) 2)Вид шара, пусть a=(a_i…a_k) X, ε>0 x=(x₁…x_n) β_p(a, ε)  p(a,x)< ε   β(a, ε)= β_p₁(a₁, ε)*… β_pn(a_n, ε) Вывод: a X, ε>0 β_p(a, ε) β_n 3)Покажем, что _P= _n пок. _p пусть G _P, когда a G ∃ ε_a>0 | β_p (a, ε_a) G, Т.к. все β_p (a, ε_a) β_nи G= ∪ β_p(a, ε₀) G _n Покажем _n⊆ _P, пусть G _p, рассм. a=(a₁…a_n) G ∃ | a ⊆ G U_i⊆x_i i=1,n i=1,n ∃ ε_i>0| β_p(a_i, ε_i) ⊆ U_i ε=min{ε₁…ε_n}, тогда β_p(a, ε)= ⊆ ⊆G▪ Примеры: 1)На ℝⁿ= _n= ⁿ μ(x,y)=max|x_i-y_i| _n(из утв.2) μ~d=> _n= ⁿ 2)В ℝⁿ рассм. фигуры П: Где a_i<b_i i=1,n П= Топология произведения на П сов. с топ., из ℝⁿ 24 Сходимость последовательностей в произведении топологических пространств. Утв. Пусть x= , где -т.п. λ=(x₁…x_n) X (X⁽^k⁾)_k₌₁ послед. в х-точек, х^(к)=(х₁^(к) … х_n⁽^k⁾) x⁽^k⁾a-> x в x  i=1,n x_i⁽^k⁾->x_i в x_i□=>)fix i ≤ n Рассм. окр. U топ. x_i в X_iРассм. G= - опр. точки х в Х ∃ p ℕ | k ≥ px⁽^k⁾ G Тогда k≥p x₁⁽^k⁾ <=)Рассмотрим окр. G= точки х в Х i=1,n ∃ p_i ℕ | k≥p_i x_i⁽^k⁾ U_i Пусть p=max {p_1…p_n}; k≥p x⁽^k⁾ G ▪

25. Проектирование на произведении топологических пространств и их непрерывность отображения в произведении.

Опр.1 Пусть Х=Х₁*…*Х_n, где Х₁…Х_n – ТП. fix i Отобр. p_i: X X_iтак. что x=(x₁,…x_n) x_i наз. i-ым проектированием

Утв. 2 Пусть Х= Х₁*…*Х_n, где Х₁…Х_n – ТП. i проектирование p_i: X X_iнепрерывно. док. пок. что _Ip_i^-1(W) p¹(W)=X₁*….X_i₁*W*X_i₊₁*….*X_n

26. Связные пространства, Простейшие хар-ки несвязан. Примеры : связность отрезка и несвязность ℚ(как подпростр. ℝ)

Опр. ТП. Х наз. несвязным если его можно представить в виде двух непустых непересекающихся открытых мн-в(т.е. в виде X где U . Х наз. связным если оно не явл. несвязным.