44. Предельные точки множеств в тп. Критерий компактности метризуемого тп( последовательности и предельности).

Опр. Пусть Х- ТП., А содержится в X. Точка называется предельной для А, если окрестность U точки : - бесконечно.

Критерий. Пусть Х – метризуемое ТП. Следующие условия эквиваленты:

(а) Х- компактно.

(б) Любое бесконечное множество А содержащееся в Х имеет в Х предельную точку.

(в) Любая последовательность точек пр-ва Х содержит сходящуюся подпоследовательность.

!(а)=>(б)! от против.

Допустим бесконечное мн-во А содержащееся в X не имеющее предельной точки. Тогда - конечно.

Семейство – открытое покрытие Х. Х-компактно =>

А содержится в X=> A содержится в , как ?!

!(б)=>(в)! Рассмотрим послед . Пусть . Если М конечно, то послед содержит подпослед вида . Она является сходящейся.

Пусть М бесконечно, тогда существует предел точки мн-ва М. Покажем тто содержит подпослед сходящуюся к . Построим последовательность которая удлвлетворяет условиям при :

1)

2)

Если определено, то Подпослед последовательности сходится к , т.к.

!(в)=>(а)! Пусть - метрика, соглас. с топологией Х. Покажем, что полная и вполне огр.

Полнота. Пусть - фундаментальная послед. По усл. содержит сходящуюся подпоследлвательность. По Лемме 2 послед сходится.

Вполне огр. (от против.) Допустим не вполне огр. По определению и послед | . Послед не содержит сходящихся подпослед. ?!

45. Фактор-пространство тп по данному разбиению(1). Естественное отображение тп на его фактор-пространство и его свойства(2).

(1) Пусть D –разбиение пр-ва Х. Пр-во называется фактор-пространством пр-ва по разбиению D и обозначается X/D.

(2) Отображение q:X X/D, которое каждой точке ставит в соответствие тот единственный элемент разбиения D, который содержит точку , называется естественным отображением пространства Х на фактор-пространство X/D.

q-cюрьективно, кроме того, X/D справедливо утв:

G открыто в X/D <=> открыто в X. Отсюда так же следует что q непрерывно.

Следовательно, Если Х комп, св. или лин.св., то таким же свойством обладает и любой его фактор.

46.Понятие факторного отображения топологических пространств. Достаточные условия, при выполнении которых сюръективное непрерывное отображение является факторным.

Опр

Пусть X,Y–Т.П. Сюръект отображение f:X—>Y называется факторным если для любого Uc_Y выполн условие:

Uc__op Y f^-1 (U)c__opX

Замечание

1. Любое факторное отображение непрерывно

2. Естественное отображение пр-ва Х на любое его фактор-пр-во является факторным

Утв Пусть X,Y–Т.П. f:X—>Y - непрерывно, сюръект отображение. Если для f выполняется хотя бы одно из условий

1. для любого U c__opX , f (U)c__{op Y}

2. для любого F c__cl X, f(F)c__cl Y; то f является факторным отображением

▫ 2) Пусть Uc__op Y => f^-1 (U)c__opX т.к f- непрерывно. Пусть Uc_Y и f^-1 (U)c__opX => Uc__op Y . Пусть F=Y\U; f^-1 (F)=X\ f^-1 (U) т.к f^-1 (U)c__opX => f^-1 (F)c__cl X f(f^-1 (F))=F => F c__cl Y=> Uc__op Y ▪

Следствие Пусть X,Y - Т.П. f:X—>Y - непрерывн сюръект отображение. Если X - компактно, Y - хаусдорфово, то f - факторное отображение

▫ Пусть F c__cl X => F – компакт => f(F) – компакт, т.к. Y - хаусдорфово f(F)c__clY ▪