34 Компактность замкнутого подпространства компактного пространства.
Замкнутость компактных множеств в хаусдорфовом пространстве. Нормальность компактных хаусдорфовых пространств. Критерий компактности в Rn
1 Любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
□ Пусть
F
X
, X
копмактно. Покажем, что F
– комактно.
Пусть
ξ- центрированное семейство замкнутых
множеств подпространства F.
Так как F
замкнуто, то ξ- центрированное семейство
замкнутых множеств в пространстве Х.
Следовательно,
ξ
Ø
■
2 Любое компактное пространство хаусдорфова пространства замкнуто.
□ Пусть β –компактное подпространство хаусдорфова пространства Х.
Рассмотрим
для
точки
b
окрестность Ub(х)
точки х и окрестность V(b)
точки b
такие, что Ub(х)
V(b)=
Ø. Так как В – компактно, то
b1..bn
такие, что В
V(b1)
..
V(bn).
Пусть U=Ub1(x)
..
Ubn(x),
V=V(b1)
..
V(bn).
U
V=
Ø, U
B
= Ø ■
Компактное хаусдорфово пространство нормально(т.е. у любых двух непересекающихся множеств компактного хаусдорфового пространства существуют непересекающиеся окрестности)
Критерий
компактности в Rn:
Подпространство А
Rn
компактно
А замкнуто и ограничено
□
)
В силу (2) А – замкнуто. Рассмотрим
семейство
.
-
покрытие для А. Так как А – компактно,
-
как покрытие А содержит конечное
подпокрытие Bn(o,k1)..
Bn(o,kn).
Пусть Bn(o,ki)
– наибольший шар, тогда
А – ограничено.
) Так как А ограничено
параллелепипед П
А.
А замкнуто в Rn
.
П – компактно
А
компактно ■
35 Сохранение компактности непрерывными отображениями. Теорема Вейерштрасса. Пример ограниченного непрерывного отображения из r в r, не имеющего ни точки максимума, ни точки минимума
Непрерывный образ компактного пространства компактен (если f: X → Y непрерывно и сюръективно и Х – компактно, то Y – компактно).
□ Рассмотрим
открытое
покрытие
пространства Y.
Рассмотрим
- открытое подпространство Х. Так как Х
– компактно,
содержит конечное подпокрытие, то есть
■
Непрерывная функция f: X → R, определенная на компактном топологическом пространстве Х, ограничена. Кроме того существуют точки, где f принимает как максимальные, так и минимальные значения.
□ Так
как Х – компактно, f(x)
компактно в R
f(x)
замкнуто и ограничено. f(x)
ограничено
f
ограничено. Пусть a
= inf
f(x),
b
= sup
f(x).
Так как f(x)
замкнуто, a,
b
f(x)
.
f(u)
= a,
f(v)
= b
f(u)
f(x)
f(v)
■
Рассмотрим f: R→ R (R – не компактно).
f(x) = arctg x.
36 Теорема о непрерывной биекции компактного пространства на хаусдорфово. Пример: граница выпуклого многоугольника на плоскости r2 гомеоморфна окружности
Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом
□ X,Y
- топологические пространства. Х –
компактно, Y
- хаусдорфово. Требуется доказать, что
f
является гомеоморфизмом. Покажем, что
f-1:
Y
→X
непрерывно. Покажем, что
F
– компакт
f(F)
компакт. Y
хаусдорфово
■
37.Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Полнота. Полнота подпространств.
Пусть (X,ρ)-М.П.Последовательность xn точек пространства X называется фундаментальной,если для любых ξ>0 существует p,принадлежащее N| n≥p,m≥p,выполняется ρ(xn,xm)<ξ
Замечание: любая сходящаяся последовательность точек – фундаментальна.
пусть (X,ρ)- метрическое
пространство, хn
х,
рассмотрим
,
т.к. , хn→х
,x)<
Пусть n
=
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.
Примеры: 1) (R,d) d(x,y)=|x-y| - полное метрическее пространство.
2)
Rn,
d),
d
– евкл. метр. – полн.
)
рассмотрим (xk)k=1
- фундаментальная последовательность.
x(k)=(x1(k)…xn(k))
Пусть
(x(k))k=1
- фундаментальная последовательность.
i(k))k=1
)-фундаментальная
последовательность. |xi(k)-xi(m)|
d(x(k),x(m))
xi
R|xi(k)
xi.
Пусть x=(x1…xn),
тогда xi(k)
xi
3)пусть X=R\{0} d(x,y)=|x-y|
(xn)n=1 - фундаментальная последовательность. xn=1/n
xn не сходится в X, (X,d) – не полное
4) (Q,d) d(x,y)=|x-y| - не полное
Пусть (X,ρ)- полное метрическое пространство. A и A X.
Подпространство (A,ρΙA) полное <=> A закрыто в X.
Доказательство. “=>” От противного
Допустим A не замкнуто. x A(с волной)\A
последовательность an точек AΙax->x
an – фундаментальная последовательность в X => an - фундаментальная последовательность в A, но в A a не имеет предела ?!
“<=” Рассмотрим фундаментальную последовательность an в (A,ρΙA)
Т.к. (X,ρ)- полное,существует x X|an->x
A закрыто в X => x A.