2. Винеровский процесс.

Представьте себе мелкую частицу, взвешенную в однородной жидкости. Частица испытывает хаотические столкновения с молекулами жидкости, в результате чего она находится в непрерывном беспорядочном движении, называемым броуновским движением.

Дискретным аналогом этого процесса может служить следующая модель случайного блуждания. Частица меняет свое положение лишь в дискретные моменты времени, кратные t. Изменение положения происходит таким образом, что находясь в точке х, частица, независимо от предшествующего поведения, переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек х+х или х-х (речь идет лишь об одной координате частицы.) В пределе t0, х0, получается непрерывное случайное движение, характерное для процесса броуновского движения.

Обозначим (t) – положение частицы в момент времени t. Пусть (0)=0. При дискретном блуждании частица за время t совершает n=t/t шагов. Пусть S_n - число шагов, совершаемых в положительном направлении.

Тогда (t)=S_nх-(n- S_n)х=(2S_n-n)х.

Поскольку (0)=0, то (t)=[(t)-(s)]+ [(s)-(0)] для любого s в интервале [0,t].

В описанной модели случайного блуждания с.в. [(t)-(s)] и [(s)-(0)] являются независимыми. Причем распределение вероятностей приращения [(t)-(s)] такое же, как и приращения [(t-s)-(0)]. Поэтому

D(t)=²(t)=²(s+(t-s))=D[(t)-(s)]+D[(s)-(0)]=²(s)+²(t-s).

Следовательно, дисперсия есть линейная функция времени:

D(t)=²t,

где ²>0 - некоторая постоянная, называемая коэффициентом диффузии.

С другой стороны, дисперсия с.в. (t), описывающей смещение за n=t/t шагов, имеет вид

D(t)=D((2S_n-n)х)= D(2S_nх -nх)=4(х)²DS_n=(х)²n=(х)²t/t.

В итоге получаем следующее соотношение между х и t: ²=(х)²/t.

Положение частицы описывается формулой (t)=(2S_n-n)х, где S_n – число успехов в n испытаниях Бернулли.

Согласно теореме Бернулли с.в. имеет стандартное нормальное распределение и .

Т.О. и

Т.О. (t) – нормальная с.в. N(0,t²).

Т.О., для моделирования броуновского движения можно определить следующий процесс.

Определение. Винеровским процессом называется случайный процесс с независимыми приращениями, обладающий следующими свойствами:

1. (0)=0.

2.  t>s с.в. [(t)-(s)] имеет нормальное распределение N(0,²(t-s)).

Моментные функции Винеровского процесса.

1. m_t=0.

2. Если t>s, то

R(t,s)= M(t)(s) = M((t)-(s))(s)+M((s))² = M((t)-(s))M(s)+M((s))²= D(s)=²s.

Если t<s, то R(t,s)=²t.

Окончательно получим R(t,s)=²min(t,s).

Т.О. корреляционные функции Пуассоновского и Винеровского процесса совпадают, но это совершенно разные процессы.

Пример на Винеровский процесс.

Пусть _x – время первого достижения частицей точки х, то есть (_x)=х.

Найдем распределение для с.в. _x.

Если (t)х, то _xt поскольку траектории частицы непрерывны.

P((t)х|_xt)= P((t)х)/P(_xt).

Если в момент времени _x частица находилась в точке х, то далее она могла смещаться как вправо, так и влево, и поэтому могла с равной вероятностью оказаться как справа, так и слева от точки х.

Поэтому P((t)х|_xt)=1/2= P((t)х)/P(_xt) и

P(_xt)= P((t)х)/(1/2)=2P((t)х) .

Плотность вероятности с.в. _x найдем, продифференцировав последнее выражение по t:

.

Замечание. Винеровский процесс является представителем еще одного класса процессов, так называемых Гауссовских с.п.

Гауссовским с.п. называется процесс, у которого все распределения являются гауссовскими многомерными распределениями.

Для Винеровского процесса это очевидно выполняется, так как любое значение может быть представлено как сумма приращений, а сумма гауссовских с.в. есть гауссовская с.в.

Гауссовский и винеровские процессы имеют очень широкие области применения, включающие радиотехнику, теорию диффузии, модели шумов и.т.д.

17