2. Контур с положительной обратной связью
Диаграмма потоков и уровней для простейшего контура с положительной обратной связью приведена на рис. 7.7.
Поток с темпом RT втекает в резервуар с уровнем LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню в резервуаре, C – коэффициент пропорциональности.
Уравнение уровня в соответствии с описанными выше обозначениями имеет вид
(3)
где LEV.K – уровень в резервуаре в момент времени K, LEV.J – уровень в момент времени J, RT.JK – темп потока, втекающего в резервуар в течение интервала времени DT от момента J до момента K. Цифра 1 означает, что это первое уравнение, а буква L означает, что это уравнение уровня.
Уравнение темпа имеет вид
. (4)
Цифра 2 означает, что это второе уравнение, а буква R означает, что это уравнение темпа.
Используя
обозначения Li
– уровень в i-й
момент времени, Vi,i+1
– темп потока на интервале времени
от момента i
до
момента i+1,
уравнение уровня и уравнение темпа
можно записать следующим образом:
, (5)
. (6)
Фактически уравнения (7.3) и (7.5) есть формулы интегрирования уравнения
(7)
методом
Эйлера. Решение уравнения (7.7) при
начальном условии
имеет вид
.
Таким образом, в контуре с положительной обратной связью происходит экспоненциальное увеличение уровня. Поскольку темп пропорционален уровню, он тоже испытывает экспоненциальный рост. В реальных системах экспоненциальный рост продолжается до тех пор, пока не начнут сказываться факторы, ограничивающие его рост. Как правило, это связано с ограниченностью ресурсов, используемых системой.
Кривая
экспоненциального роста характеризуется
константой
,
которая называется постоянной времени.
Постоянная времени численно равна
времени, за которое происходит увеличение
уровня в e
раз.
3. Контур с отрицательной обратной связью
Общий вид контура с отрицательной обратной связью приведен на рис 7.8.
При построении модели возникает необходимость введения различных вспомогательных переменных, отражающих промежуточные этапы определения уровней и темпов. Вспомогательные переменные обозначаются окружностью.
В отличие от контура положительной обратной связи, здесь темп потока зависит от разности DISC между фактическим и желаемым состоянием системы GL. Желаемое состояние – это цель, задаваемая извне. В данном случае величина DISC является вспомогательной переменной.
Контур отрицательной обратной связи описывается следующей системой уравнений:
, (7)
, (8)
, (9)
где LEV – уровень, RT – темп, C – константа пропорциональности, характеризующая чувствительность системы, DISC – разность между целью и уровнем.
Подставив (7.9) в (7.8) и полученное выражение в (7.7), получим:
. (10)
Используя
те же обозначения, что и в п.7.1.1, и обозначив
,
получим аналитическое выражение для
уровня
. (11)
Разделив
обе части на
t
и
переходя к пределу при
,
приходим к дифференциальному уравнению
. (12)
Проведя разделение переменных
,
получим общее решение
,
где K – постоянная интегрирования. При начальном условии получаем
.
Таким образом, решение уравнения (7.12) при заданном начальном условии имеет вид
. (13)
Из выражения (13) следует, что отклонение текущего уровня L(t) от желаемого состояния G при t стремится к нулю. Поведение системы зависит от начального условия и показано на рис. 7.9.
Кривая 1 соответствует случаю G < L0, а кривая 2 – случаю G > L0.