11.Волновая функция и её свойства

Волновая функция подчиняется уравнению Шредингера.

Поскольку волновая функция явл-ся комплексной величиной, то её невозможно определить экспериментально. Физич.интерпретацию волн.ф-ии дал Борн, согласно которому квадрат модуля волн.ф-ии представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке, которая описывается радиус-вектором R: P= ²=ψψ* (1)

Под плотностью вероятности понимается вероятность нахождения частицы в единице объема. Из вышеизложенного следует,что вероятность нахождения частицы в объёме dV в момент времени t можно найти так: (2).

Полная вероятность любого события =1, поэтому из соотношения 2 следует,что волн.ф-ия должна удовлетворять след.условию: (3), Условие 3 в квантовой механике наз-ся условием нормировки. Это связано с тем,что при решении уравнения Шредингера волн.ф-ия определяется с точностью до постоянного множителя,который опр-ся из условия 3. В квантовой теории волн.ф-ия является основной величиной, т.к. зная её можно описать все физич.свойства микрочастиц. Поскольку волн.ф-ия удовлетворяет принципу суперпозиции, то с её помощью можно описать волновые свойства микрочастиц.

12.Операторы физических величин в квантовой теории

Согласно третьему постулату квантовой механики механическим величинам сопоставляются операторы. Можно показать,что декартовым координатам x,y,z и проекциям импульса в квантовой теории соотв-т след.операторы: _x = -ћi(∂/∂x), _y = -ћi(∂/∂y), _z = -ћi(∂/∂z).

Общие правила, позволяющие находить операторы др.физических величин таковы: формулы, связывающие между собой классич.величины в кВ.теории следует рассматривать как формулы,связывающие операторы этих величин. Используя данное правило давайте найдем квадрат оператора импульса. В классической механике квадрат импульса связан с квадратом его проекций след.образом: р²=сумма квадратов проекций

Тогда согласно вышесформулированному правилу оператор квадрата импульса будет иметь след.вид:

сумма квадратов операторов проекций

Чтобы получить квадрат оператора импульса в явном виде необходимо в соотношение 3 подставить выражение 1

Как известно оператор Лапласа имеет вид:

Δ=∂²/∂²x+∂²/∂²y+∂²/∂²z(5). Тогда выражение 4 можно записать: р²=-ћ Δ(6)Давайте найдем оператор кинетической энергии частицы массой m. Кинетич.энергия связана с импульсом так:К=p^2/2m(7) Согласно вышесформулированному правилу оператор кинетич.энергии частицы: (8)Оператор полной энергии для частицы, нах-ся в потенциальном поле. Полная энергия связана с кинетич.и потенции.энергиями так:E=K+U(9)Согласно вышесформулированному правилу оператор полной энергии частицы будет иметь вид:

13.Средние значения физических величин. Собственные функции и собственные значения операторов физических величин. По своей природе квантовая теория явл-ся вероятностной теорией и одной из основных задач этой теории явл-ся вычиление средних значений различных физич.величин. Согласно четвертому постулату ср.значение любой физической величины мб вычислено:

<E>=(∫dvψ*Êψ)/(∫dvψ*ψ) (1)Несмотря на то,что кв.теория является вероятностной теорией, тем не менее микросистемы могут нах-ся в таких состояниях, в которых некоторые физич.величины имеют опред.значения. Можно показать,что если волн.ф-ия микросистемы является решением след.уравнения: Êψ=Eψ (2),то для этой системы физич.величина Е имеет опред.значение.

Функции, являющиеся решением уравнения2 наз-ся собственными функциями оператора Е, а значения Е, при которых такие решения существуют, наз-ся собственными значениями физич.величины Е. Если микросистема находится в состоянии, которое описывается волн.функцией,удовлетворяет уравнению 2, то набор собственных значений для оператора Е определяет значение величины Е, которые мб найдены их эксперимента при измерении данной физической величины. Набор собственных значений физич.величины Е мб как непрерывными так и дискретными.

Пусть частица массой m находится в состоянии, кот. описыается волновой функцией, удовлетвор.след.уравнению: Ĥψ=Нψ (3). Тогда, как следует из выше изложенного, состояние частицы будет характеризоваться определенным значением энергии, которую можно непосредственно измерить на эксперименте. Найдем с помощью уравнения (2) собственную функцию состояния, в которой проекция импульса на ось х имеет определенное значение, равное Px, будем считать, что система одномерна, для решения поставленной задачи восп. уравнением(2) в котором вместо оператора Ê пост. оператор Рх, в результате получим след.уравнение: P ̂xψ=Pxψ (4); -iℏ(dψ/dx)= Pxψ (5). С математической точки зрения (5) представл.собой дифф.уравнение I порядка с разделяющимися переменными, решая которое, получаем: ψ=c1*ei(Px/ℏ), где с1-постоянная интегрирования.