14.Уравнение Шредингера

Как мы знаем, основной величиной, характеризующей состояние микросистемы в квантовой механике явл-ся волн.ф-ия,которая изменяется со временем. Изменение волн.ф-ии со временем как следует из пятого постулата описывается уравнением Шредингера: iℏ(dψ/dt)=Ĥψ (1).

Данное уравнение было предложена для описания микросистем Шредингером в 1926 году. Уравнение Шредингера в кВ.механике выполняет такую же роль как и уравнение Ньютона в классич.механике. Это уравнение ниоткуда не выводится. Справедливость данного ур-ия установлена тем,что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Уравнение 1 с матем.точки зрения явл-ся ур-ием в частных производных. Для однозначного решения ур-ия 1 нужны дополнит. ограничения. Условия, которые накладывает квантовая теория на решение 1 следующие: физический смысл могут иметь лишь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие.

Особую роль в кв.теории играют стационарные состояния, т.е. состояния, в которых все наблюдаемые физич.величины не меняются с течением времени. Можно показать,что волн.ф-ия, описывающая стационарные состояния имеет след.вид: ψ(R,t)=ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t (2). Для того, чтобы получить ур-ия для ф. ψ(R) подставим (2) в (1): iℏ(d[ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t ]/dt)=Ĥ* ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t , решая, получаем: E*ψ(R)=Ĥψ(R) (3). Данное уравнение наз-ся стационарным уравнением Шредингера. Из соотношения 3 видно,что стационарное уравнение Шредингера можно рассм-ть как уравнение на собств.ф-ии, кот.соотв-т определенные значения энергии. Эти состояния квантовых систем наз-ся стационарными. В отличии от теории Бора, где квантование вводилось искусственно в теории Шредингера оно возникает автоматически. Для этого достаточно учесть, что физич.смысл имеют лишь те решения уравнения Шредингера,которые удовл-т определенным условиям. Эти условия состоят в том,что волн.ф-ия дБ конечной однозначной непрерывной и гладкой, без изломов во всем пространстве, даже в тех точках, где потенц.энергия терпит разрыв.