
- •Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Векторная диаграмма для вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс.
- •Определение волны. Продольные и поперечные волны. Волновое уравнение. Решение волнового уравнения Классификация волн по их форме. Монохроматическая волна.
- •Плоские монохроматические волны. Фаза волны. Волновая поверхность. Длина волны, волновое число, волновой вектор. Сферические волны. Фазовая скорость волны.
- •Плотность энергии электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.
- •Интенсивность электромагнитной волны.
- •Световые лучи. Оптическая длина пути. Принцип Ферма. Закон отражения и преломления волны. Полное внутреннее отражение.
- •Интерференция плоских монохроматических волн. Расстояние между интерференционными полосами.
- •Дифракция Френеля на крае полуплоскости и на щели. Спираль Корню. Дифракция Фраунгофера (с помощью векторной диаграммы). Дифракционная решетка (с помощью векторной диаграммы).
-
Колебательное движение. Гармоническая сила. Период колебаний.
-
Маятник. Уравнение гармонических колебаний.
-
Энергия простого гармонического движения. Малые колебания.
-
Векторная диаграмма. Сложение параллельных колебаний. Биения.
-
Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
-
Уравнение затухающих колебаний. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.
Затухающие колебания.
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми лотерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса
Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.
Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса не изменяются в ходе процесса
Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями
Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
линейный
системы имеет вид:
-
--циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при
=0).
Декремент затухания.
-
Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Векторная диаграмма для вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс.
Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам.
Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания
Изобразим эти
колебания с помощью векторов, амплитуды
которых получаются после умножения
на
2β,
а - ξ на ω20
вправо
направим вектор длиной ω20A,
изображающий функцию ω20A
· Cos( ωt - φ) ,
начальная фаза которой равна "минус
фи".
Т.к.
,
то
.Таким
образом, амплитуда вынужденных колебаний
изменяется с изменением частоты внешнего
воздействия. При определенной частоте
амплитуда достигает максимума. Это
явление называется резонансом, а
соответствующая частота - ωрез
- резонансной. Для определения ωрез
исследуем функцию A(ω)
на максимум, для этого достаточно найти
минимум знаменателя у выражения A(ω)
. Возьмем от него производную по и
приравняем к нулю:
,
откуда:
.
При 2β2
> ω20
резонанс отсутствует (ωрез
- мнимое число).
-
Определение волны. Продольные и поперечные волны. Волновое уравнение. Решение волнового уравнения Классификация волн по их форме. Монохроматическая волна.
-
Плоские монохроматические волны. Фаза волны. Волновая поверхность. Длина волны, волновое число, волновой вектор. Сферические волны. Фазовая скорость волны.
Длина волны.
Сферические волны.
Фазовая скорость.
-
Эпергия упругой волпы. Поток и плотность потока энергии. Вектор Умова. Принцип суперпозиции волн. Стоячие волны. Собственные частоты» гармоники Узлы и пучности стоячей волны. Звуковые волны. Эффект Доплера для звуковых волн (без вывода). Волновое уравнение для электромагнитного поля в однородной изотропной среде (без вывода). Скорость электромаггашплх волн. Показатель преломления.
Поток и плотность потока энергии.
в некоторой среде распростр.в направл. оси х плоская продольная волна ξ=acos(ωt-kx+α) (1)
Выделим
элементарный объем ∆V,
наст. малый, что скорость движения и
деформацию во всех точках можно
считать одинаковыми и = ∂ξ/∂t
и ∂ξ/∂x.
Его
(2) Этот
объем обладает также потенциальной
энергией упругой деформации
(ε-относительное
удлинение цилиндра, Е-модуль
Юнга среды).
Заменим модуль Юнга на ρυ2
(ρ-плотность
среды, υ-фазовая скорость волны).
Выражение для потенциальной энергии
объема ∆V
примет вид
(3). Отсюда полная энергия
Разделив
эту энергию на ∆V,
в котором она содержится, получим ρ
энергии w=(4)
Дифференцирование (1) один раз по t,
другой по х дает:
,
Подставим
в (4), учтя, что (kυ)2=ω2:
(5)
В случае поперечной волны для w
получается такое же выражение.
(ar-амплитуда
волны на расстоянии r
от источника). Поскольку энергия волны
не поглощается средой, средний поток
энергии ч/з сферу любого
радиуса должен иметь одинаковое
значение, т. е.
ar2r2=const.
Отсюда следует, что амплитуда аr
незатухающей
сферич.
волны
обратно пропорц-на
r.
Соответственно <j>
обратно
пропорц-на r2.
В случае плоской затухающей волны
средняя плотность потока энергии
(т. е. интенсивность
волны) убывает по закону j=j0exp(-kx)
Здесь k=2γ-коэффициент
поглощения
волны. Имеет
размерность, обратную
размерности длины.
В1/k
= расстоянию, на
котором интенсивность
уменьшается в е
раз
Эффект
Доплера для звуковых волн.Пусть
источник, находящийся в газе или жидкости,
испускает
короткие импульсы c
частотой v.
Если источник и приемник
покоятся относительно
среды, в
которой распространяется волна, то
частота воспринимаемых приемником
импульсов будет
равна частоте v
источника. Если же источник, или приемник,
или оба движутся относительно среды,
то частота v',
воспринимаемая
приемником, вообще говоря, оказывается
отличной
от частоты источника: v'
≠ v.
Это
явление называют эффектом
Доплера.
Сначала рассмотрим случай, когда источник S и приемник P движутся вдоль проходящей через них прямой c постоянными скоростями и и u' соответственно (относительно среды).
Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы c периодом Т = l/v, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояние λ = υΤ, где υ - скорость волн в среде, и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояние uT. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равным λ' =υT-uT (рис. 1.11), и воспринимаемая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени) v'=υ/ λ'= υ / (T(υ-u)) (1.63)
Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость υ + u', и число воспринимаемых за единицу времени импульсов
v' = (υ + u') / (T(υ-u))= v (υ + u') / (υ-u) (1.65)
Принцип суперпозиции волн.
Вектор
Умова.