18 Применение комплексных чисел

К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

(МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН

Расчеты электрических цепей гармонического тока в тригонометрической форме или графически с помощью векторных диаграмм применяются на практике только в случае простых схем.

С усложнением электрических цепей, с увеличением числа конту­ров, источников энергии, добавлением вза­имных индуктивностей и т. д. три­гонометрические или графические расчеты становятся крайне затруд­нительными. Требуется метод, по­зволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алге­браически, аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), введенный в электротехнику А. Е. Кеннеди и П. Ч. Штейнметцом в 1893 – 1894 гг. Этот метод, как и векторные диаграммы, основан на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, причем вращающиеся векторы вы­ражаются аналитически, в комплексной форме. Алгебраически интер­претируя векторные диаграммы, этот метод удобно сочетает анали­тические расчеты с геометрическими представлениями.

Все последующее изложение данного курса и радиотехнических дисциплин базируется на этом ме­тоде.

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяет­ся радиусомвектором этой точ­ки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответ­ствующей заданному комплексному числу (рисунок 3.1).

Пользуясь показательной или полярной формой записи комплекс­ного числа, имеем

.

Рисунок 3.1 Вектор, изображающий комплексное число

Здесь А – модуль;

 – аргу­мент;

(в электротехнике не пользуются обозначением , так как буква i обозначает ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригономет­рическую форму записи комп­лексного числа

или соответственно алгебраиче­скую форму

,

где ; .

Очевидно,

; .

Вектор, вращающийся в положи­тельном направлении, т.е. против хода часовой стрелки, с угловой ско­ростью ω, может быть выражен сле­дующим образом

, (3.1)

где ( – комплекс­ная амплитуда, представляю­щая данный вектор в момент t = 0, рисунок 3.2). Иначе говоря, это комп­лексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной гармо­нической функции.

Множитель e^jt является опе­ратором вращения; умноже­ние комплексной амплитуды на e^jt означает поворот вектора на угол t в положительном направ­лении.

Записывая комплексную функ­цию (3.1) в тригонометрической форме

заключаем, что гармоническая функ­ция Acos(t+) может рассматри­ваться как действительная часть комплексной функции (3.1), или, что то же, как проекция вращающегося вектора на действительную ось.

Условно это записывается так:

.

Символ Re обозначает, что берет­ся действительная часть комплекс­ной функции. Например,

,

где – комплексная амплитуда.

Аналогично функция Asin(t+) может быть в случае необхо­димости представлена как мнимая часть комплексной функции (3.1), взятая без множителя j, или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записы­вается так

,

где символ Im обозначает, что бе­рется мнимая часть комплексной функции. Например,

.

Другой способ представления гармонической функции с помощью комплексных величин основан на применении формул

; (3.2)

. (3.3)

Согласно (3.2) можно заклю­чить, что функция Acos(t+) равна геометрической сумме двух комплексно сопряженных векторов, имеющих модуль A/2 и вращающих­ся в противоположные стороны с одинаковой угловой скоростью ω.

В результате сложения таких двух векторов получается вектор, расположенный на действительной оси, т. е. для любого момента вре­мени t получается действительная величина (рисунок 3.3, а).

Аналогично из (3.3) видно, что функция Asin(ωt+) равна гео­метрической разности тех же двух вращающихся векторов, деленной на j. Разность этих векторов для любого момента времени t представ­ляет мнимую величину (рисунок 3.3, б), и поэтому ее делят на j для получе­ния действительной функции.

а б

Рисунок 3.3 Представление гармонической функции

вращающимися комплексно-сопряженными векторами

Вращение вектора в отрицатель­ном направлении (по ходу часовой стрелки) связано с понятием отри­цательной круговой частоты (–), которое является чисто математиче­ским понятием, вытекающим из вы­шеприведенных формул. Введение этого понятия в ряде случаев удоб­но для исследования процессов в электрических цепях. Из сравнения построения на рисунках 3.3, а и б, видно, что представ­ление гармонических функций с по­мощью двух векторов, вращающих­ся в противоположные стороны, для функции вида Acos(t+) проще, чем для функции Asin(t+).