13 Гармонический ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L проходит ток i = I_msin(ωt + ).

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле (1.3)

.

Значит, напряжение на индуктивности

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол /2; максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на /2 (рисунок 2.9). Когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока (di/dt), которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обращаются в нуль.

Под фазовым сдвигом  тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока (§ 2.4). Следовательно, в данном случае  = _u  _i = .

На векторной диаграмме вектор тока отстает от вектора напряжения на угол /2 (рисунок 2.9, в).

Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

U_m = ωLI_m = x_LI_m; U = x_LI.

Величина x_L = ωL, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина называется индуктивной проводимостью.

Итак, I_m= b_LU_m; I = b_LU.

Индуктивное сопротивление представляет расчетную величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:

р_L= u i= U_mI_m sin(ωt++ )sin(ωt+) = 2cos(ωt+)sin(ωt+) = = UIsin2(ωt+) .

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии магнитного поля индуктивности (§ 1.3).

Энергия магнитного поля индуктивности согласно формуле (1.4а)

изменяется периодически с угловой частотой 2ω в пределах от 0 до (рисунок 2.10).

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается источнику при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю. Так как максимальное значение энергии, запасаемой в магнитном поле, равно w_Lmax= LI², то индуктивное сопротивление X_L = ωL может быть определено как X_L = .

14 Гармонический ток в емкости

Пусть напряжение на емкости C синусоидально u = U_msin(t+).

На основании (1.8)

(2.14)

Изменение электрического заряда происходит по косинусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением и. При этом попеременное накапливание положительных и отрицательных электрических зарядов на пластинах емкости обусловливает прохождение в цепи гармонического тока i. Его величина определяется скоростью изменения заряда на емкости (dq/dt).

Выражение (2.14) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол /2 (рисунок 2.11). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения и. Физически это объясняется тем, что, когда электрический заряд q и соответственно напряжение и = q/С достигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

 = _u _i=- .

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где  = /2, фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен ( = −/2).

На векторной диаграмме вектор тока опережает вектор напряжения на угол /2 (рисунок 2.11, в).

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, по­добным закону Ома:

U_m= I_m; I_m = X_CI_m; U = X_CI.

Величина X_C = 1/ωС, имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина b_C = ωC называется емкостной проводимостью. Следовательно, I_m=b_CU_m, I=b_CU.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

р_C = ui = U_mI_msin(ωt+)sin(ωt++ ) = UIsin2(ωt+),

колеблется синусоидально с угловой частотой 2ω, имея амплитуду, равную UI.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емкости.

Энергия электрического поля емкости согласно (1.8а)

изменяется периодически с угловой частотой 2 в пределах от 0 до (рисунок 2.12).

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается к источнику при исчезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при максимальном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как и в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем средняя мощность Р = 0.

Так как максимальное значение энергии, запасаемой в электрическом поле, равно W_Cmax= CU², то емкостное сопротивление X_C = может быть определено как X_C = .