39.Случай мнимого,выраженного эллипса.

41. Основные свойства гиперболы Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются. Формула гиперболы y = k/x, при условии, что k не равно 0. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним. Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Свойства: 1. Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе. Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF 2. .Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

3. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

4. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.

Свойства гиперболы:

1)        Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2)        Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями        и    .3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                    ,                                                                      (11.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5)   Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

42.  Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда   Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить     - каноническое уравнение гиперболы.             (11.3)

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная   называется эксцентриситетом гиперболы.  Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с /а . Эксцентриситет: 

Определение 11.7. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

43.Случай сопряжённой,вырожденной гиперболы (НЕ ПОЛНОСТЬЮ)

Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

44.     Общее и каноническое уравнение параболы     Для вывода уравнения параболы выберем декартову

   систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD   равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

       поскольку

 Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:    y² = 2px ,                                                                 

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

45. Понятие директрисы и фокусного радиуса параболы.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

46. Свойства параболы.

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением  y² = 2px, то ее осью является ось Ох,а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

47. Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица^[3].Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени   с комплексными коэффициентами имеет ровно   комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.

48. Алгебраическая форма

Запись комплексного числа   в виде  ,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что  ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную   и мнимую   части комплексного числа выразить через модуль   и аргумент   ( ,  ), то всякое комплексное число  , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где   — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

49.Свойства комплексных чисел:

Свойства комплексных чисел: 1) комплексные числа коммутативны по сложению и по умножению. ,

2) комплексные числа ассоциативны по сложению и по умножению. 3) комплексные числа дистрибутивны.

Для комплексных чисел операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если  , то z является решением уравнения  . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на   и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

50. Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(здесь как раз и спользуется, что i² = –1). Число   = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·   = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

. (Например,  .)У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна  . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + biи обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументомкомплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) — ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор.

51. Формула Муавра для комплексных чисел   утверждает, что

для любого 

Доказательство.

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера   и тождества для экспонент  , где b — целое число.^[1]

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n—1.Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в нуле. Если b — нецелое число, то   — многозначная функция переменной a и   является лишь одним из её значений.

51. формула Муавра: zⁿ = |z|ⁿ · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени   из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z — это такое комплексное число w, что wⁿ = z. Видно, что  , а  , где kможет принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корнейn-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n-угольника).