1. Понятие о векторной и скалярной величинах.

Величина, которая полностью характеризуется одним числовым значением, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, называется скалярной величиной (скаляром).

Величина, которая кроме числового значения характеризуется еще и направлением, называется векторной величиной (вектором). Определяется числом и направлением. Обозначается . Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства, где существуют две точки начало и конец . под модулем (длиной) вектора | |= a понимается его числовое значение, без учета направления. Модуль можно найти с помощью формулы: . Модуль вектора в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. В пространстве добавляем третий элемент z².

Вектор Ō, модуль, которого равен нулю, называется нулевым или нуль - вектором. Направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

Существует свободный вектор, который допускает перенос в любую точку пространства, при условии сохранения длины и направления.

3. Понятие о базисных векторах. Расположение вектора по базисным векторам.

Разложение вектора по трём ортогональным векторам трёхмерного евклидова пространства Векторы (как направленные отрезки), лежащие на прямых, параллельных одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, лежащие в плоскостях, параллельных однойплоскости — компланарными. Для свободных векторов коллинеарность и компланарность определяется как такие понятия для изображающих их направленных отрезков (то есть представителей соответствующих свободным векторам классов эквивалентности). Каждый вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум определённым неколлинеарным векторам этой плоскости, а каждый вектор трёхмерного евклидова пространства можно единственным образом разложить по трём определённым некомпланарным векторам. Эти векторы, взятые в определённом порядке называются базисом плоскости (пространства). Сопоставлением каждому вектору данной плоскости (пространства) его коэффициентов в таком его разложении, определяется аффинная система координатна плоскости (в пространстве). Если векторы, по которым производится разложение, ортогональны и единичны, то получаем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (в пространстве). Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

с помощью этой формулы можно разложить любой вектор.

2 . Свойства и операции над векторами.

- формула сложения вектора

- формула сложения в пространстве.Если A и B известны, то можно найти проекцию на оси, т.е. разницу B – A. a_x= x2 - x1 (a_x; a_y) координаты (компоненты) a_y= y2 - y1

a_x= | | * cosα a_y= | | * cosβ a_z= | | * cosγ

cosα² + cosβ² = 1 cosα² + cosβ² - cosγ = 1

совокупность проекций a_y a_z вектор опр-ся однородностью

сумма векторов ищется по признаку парал-ма: если векторы   и   приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма  есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала   и   (рис. 2). Отсюда сразу следует, что  .

Так же существует и признак треуг-ка: Суммой   двух векторов   и   называется вектор, который идет из начала вектора   в конец вектора   при условии, что вектор   приложен к концу вектора   (правильно треугольника). Построение суммы   изображено на рис. 1.

Разность   двух векторов   и   называется вектор, который в сумме с вектором   составляет вектор  . Если два вектора   и   приведены к общему началу, то разность их   есть вектор, идущий из конца   («вычитаемого») к концу   («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом  , то другой обозначается символом  . Легко видеть, что  . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение   (или также  ) вектора   на число   называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора   на модуль числа  ; он параллелен вектору   или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор  , если   - число положительное, и противоположно вектору  , если   - число отрицательное.Скалярное произведениеОсновная статья: Скалярное произведение

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

Скалярное произведение любого вектора   и какого-то единичного вектора   есть проекция (ортогональная проекция) вектора   на направление этого единичного вектора: Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

(где   — проекция вектора   на направление  ,   — проекция вектора   на направление  ). - В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор  , удовлетворяющий следующим требованиям: - длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла φ между ними

- вектор   ортогонален каждому из векторов   и  - вектор   направлен так, что тройка векторов   является правой.

Обозначение: 

Геометрически векторное произведение   есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах  , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму. Свойства векторного произведения: 1.При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е  2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть  3.Векторное произведение обладает распределительным войством: 

Смешанное произведение Основная статья: Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  : равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе). Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).Геометрически смешанное произведение   есть(ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах  .То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае — косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы   правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

4. Скалярное произведение 2-х векторов.

(геом-е) скалярное произведение и есть число ( ), которое равно . Угол между а и b так же является числом.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  ,   обозначается символом   (порядок записи сомножителей безразличен, то есть  ).

Если угол между векторами  ,   обозначить через  , то их скалярное произведение можно выразить формулой

  (википедия)

5 Свойства скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов   и   справедливы следующие свойства скалярного произведения:

свойство коммутативности скалярного произведения  ;

свойство дистрибутивности   или  ;

сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число;

скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен  , причем  тогда и только тогда, когда вектор   нулевой.

6. Условия коллинеарности и ортогональности векторов. В рассмотрении геометрических векторов вводится определение следующей операции.Произведением вектора  на число  называется вектор, получающийся из вектора  растяжением (при  ) или сжатием (при  ) в   раз, причём направление вектора  сохраняется, если  , и меняется на противоположное, если  . Из определения следует, что векторы  и  всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы  и  коллинеарны, то они связаны соотношением  (8) Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов. В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид или

Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:

или т.е. необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат. Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

7. Проекция одного вектора на другой.

допустим вектора а(x1,y1) и b(x2,y2) Проекция=Косинус угла между векторами * |a| (длина проецируемого вектора) Косинус угла между векторами a и b = a*b/|a|*|b| скалярное произведение a*b=(x1*x2+y1*y2) длина векторов |a|=корень из(x1^2+y1^2); |b|=корень из(x2^2+y2^2);

8. Угол между векторами.

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°]. Угол между векторами   обозначается так:  . Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0^о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º. Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) вычисляется по формуле: x₁x₂ + y₁y₂).

9. Векторное произведение двух векторов. Векторным произведением векторов   и   называется вектор  , который определяется следующими условиями: 1) Его модуль равен   где   - угол между векторами   и  . 2) Вектор   перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами   и  . 3) Вектор   направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы   и  , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов   и   обозначается символом  :

     (25)или

     (26)

10. Свойства векторного произведения 2-х векторов

1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым. 2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок): Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

3)   (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения   через проекции векторов   и   на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

     (27) которую можно записать с помощью определителя

     (28) Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

     (29) и тогда на основании (4)

     (30)

11. Геометрический смысл векторного произведения.

По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

12. Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть . Имеет место тождество , ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом, , . Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , . Если векторы , , заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение определяется формулой .

13. Свойства смешанного произведения: 1) ; 2) ; 3) Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны. Действительно, если , то по определению векторного произведения , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как . Если же или , то угол между векторами и равен , следовательно, по определению скалярного произведения векторов

14. Геометрический смысл смешанного произведения. Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов и . Отложим векторы и от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах. Обозначим . В этом случае смешанное произведение можно записать как , где - числовая проекция вектора на направление вектора . Абсолютная величина числовой проекции равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах и , так как вектор перпендикулярен и вектору и вектору по определению векторного произведения. А в разделе геометрический смысл векторного произведения мы выяснили, что величина представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Таким образом, модуль смешанного произведения - это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах и . Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: . В этом заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов. Объем тетраэдра, построенного на векторах и , равен одной шестой объема соответствующего параллелепипеда, таким образом,

15. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и . Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами и . Координата равна длине отрезка , координата  — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки и определяются линиями, проведёнными из точки параллельно осям и соответственно.При этом координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче (а не на луче , как на рисунке). Координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче . Таким образом, и являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось). Координата называется абсциссой точки , координата  — ординатой точки .Символически это записывают так: Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

16. Деление отрезка в заданном отношении. Доказательство: Поставленная задача может быть решена с помощью векторов. Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, и . Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении . В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце. Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем . Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам и .

17. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов   при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать   (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

все коэффициенты  , но есть коэффициент  , отличный от нуля (для определённости пусть будет  ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через   обозначены все остальные слагаемые.

 представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных  .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что 

Второй случай заменой переменных    сводится к первому.

19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент). Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки. Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю. Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, .

18.Общее уравнение прямой на плоскости.Теорема. Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C. Доказательство. Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно . Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана. Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида . Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

20. Уравнение прямой в отрезках.Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

21. Каноническое уравнение прямой на плоскости : Если известны координаты точки A(x₀, y₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу:

(как дробь)

Каноническое уравнение прямой в пространстве : Если известны координаты точки A(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n= {l;m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

22. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), такие что x₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂ то уравнение прямой можно найти, используяследующую формулу

(как дробь)

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такие что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠z₂  то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

23. Параметрическое уравнение прямой на плоскости: Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

где (x₀, y₀) - координаты точки лежащей на прямой, {l, m} - координаты направляющего вектора прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространств: Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

24. Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если точка лежит на прямой, то расстояние от точки до прямой считается равным нулю. Если задано уравнение прямой Ax+ By+ C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу:

Пример. Найти расстояние между прямой 3x + 4y -6 = 0 и точкой M(-1,3).Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки:

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

a_x

25. Условие коллинеарности векторов Условия коллинеарности векторов : - Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны - Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю. Так в случае плоской задачи вектора a= {a_x;a_y}и b={b_x;b_y}коллинеарны если:

Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю: a· b= 0

Так в случае плоской задачи вектора a= {a_x;a_y}и b= {b_x; b_y} ортогональны, если a· b= a_x · b_x + a_y · b_y = 0

(остальное не нашла)

26. Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле: 

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

.

27.Общее уравнение плоскости .частные случаи.пределение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0 ,где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости. где   и   — постоянные, причём   и   одновременно не равны нулю .

Возможны следующие частные случаи : А = 0 – плоскость параллельна оси Ох, В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат, А = В =0 – плоскость параллельна плоскости хОу А =С=0 –плоскость параллельна плоскости хОz В =С =0 –плоскость параллельна плоскости yOz А =D =0 – плоскость проходит через ось Ох В =D =0 – плоскость проходит через ось Оу С = D =0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу, А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz, В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz.

28. Уравнение плоскости в отрезках.

- Если в уравнении плоскости ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду  (1) где ,  ,  суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

(Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

)

29. Пусть в координатном пространстве   заданы три точки       не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.

Как показано точка   принадлежит плоскости, проходящей через точки       тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор   удовлетворяет условию:

где   - некоторые действительные числа (параметры). Это уравнение, а также его координатную форму будем называть аффинным уравнением плоскости, проходящей через точки     

Используя векторы

и

в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида : которое называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

30.Расстояние от точки до плоскости.

  Пусть плоскость   задана уравнением   и дана точка   . Тогда расстояние   от точки   до плоскости  определяется по формуле Доказательство.     Расстояние от точки   до плоскости   -- это, по определению, длина перпендикуляра   , опущенного из точки   на плоскость   (рис. 11.9). Вектор   и нормальный вектор n плоскости   параллельны, то есть угол   между ними равен 0 или   , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому Откуда (рис 11.8 ) Координаты точки   , которые нам неизвестны, обозначим   . Тогда   . Так как   , то   . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим Точка   лежит на плоскости   , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:   . Отсюда находим, что   . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим   . Так как   , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).      11.9