22. Линейные операторы и их св-ва.

Опред.: Лин.отображ-я, действующие из векторного пространства Rᵐ в векторное пространства Rⁿ. Эти отбраж-я наз-ся лин.операторами. Введем арифм-е операции над лин.операторами:

1.суммой двух операторов р1~ р2~ наз-ся оператор р1~, который действует по след.правилу: р~(х)=р1~(х)+р2~(х).

2.произведением оператора на число х наз-ся новый оператор р2~, который действует по правилу: р2~(х)=λ.

3.произведением оператора Р2~ на Р1~ наз-ся оператор Р~, определяемый из равенства:

Р~(х)=Р2~(Р1~(х)).

Опред.: Оператор Е~ наз-ся тождественным, если Е~(х)=х.

Пусть в пространстве Rⁿ задан базис е1,е2…en. Любой вектор может быть разложен: х=х1е1+х2у2+…+хnen. Подействуем на вектор х оператором Р~: Р~(х)=Р~(х1е1+х2е2+…+хnen)=x1P~(e1)+x2P~(e2)+…+xnP~(en)=x1(a1e1+a2e2+…+anen)+x2(a12e1+a22e2+…+an2en)+x3(a13e1+a23e1+…+an3en)+…+xn(a1ne1+a2ne2+…+annen).

Величины Р~(е1), Р~(е2), Р~(еn) – явл-ся векторами из пространства Rⁿ и эти вектора могут быть разложены по базису е1,е2…en. P~x – некоторый вектор у из пространства Rⁿ (тоже раскладывается по базису у=у1е1+у2е2+…+уnen. Разложение по базису единственно и тогда: у1=а11х1+а12х2+…+а1nxn

y2=a12x1+a22x2+…+a2nxn

y=P*X

Действие оператора на х сводится к умножению матрицы Р на матрицу Х. Оператор Р~ - явл-ся частным случаем лин.отображ-я,он имеет ранг,который равен размерности образа этого отображ-я и следовательно размерности соответ.подпространства. Это подпространство составлено из векторов: р(е1), р(е2)…р(еn) и их лин.комбинаций. Число лин.независимых векторов среди них и составл.размерность подпространства. Координаты векторов Р~(е1), Р~(е2)… р(еn) образуют столбцы матрицы Р. Поэтому число оин.независимых столбцов матрицы Р и есть ранг оператора Р~,т.е. ранг матр. Р=рангу оператора Р~. Если ранг лин.опреатора=n, то только нулевой вектор переводится в нулевой, и матричное уравнение у=Р*Х имеет единств.решение, а это общечисловое взаимооднозначное соответствие х и у. Если ранг<n, т.е.матр.оператора-вырождена,некоторые вектора отличные от нулевого переводятся в нулевой вектор. Возникает дефект лин.оператора. Соответ.подпространство ядра оператора перестает быть нулевым. По виду матр. Р можно найти ядро, базис ядра и размер дефекта.

23. Собственные значения матрицы. Собственные векторы матрицы. Независимость собственных векторов.

Опред.: Ненулевой вектор х наз-ся собственным вектором оператора Р~, если найдется такое число λ, называемое собственным значением, что

Р(х)=λх (*). Это равенство означает, что вектор х подвергнутый действию лин.оператора Р~ умнож-ся на число λ. РХ=λХ, РХ-λХ=0, (Р-λЕ)Х=0, где Е-единичная матрица (**). Матричное выражение всегда имеет решение. Для сущ-я ненулевого решения, необходимо, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных. Т.е. число линейно-независимых уравнений должно быть<числа переменных. (***). Определитель должен быть равен 0. Раскрыв определитель, получаем уравнение n-ой степени, относительно λ.

Характеристическое уравнение оператора:

(-1)ⁿλⁿ+а n-1 *λⁿ⁻¹+…+a1λ+a0=0 (****). Корни характеристического уравн.наз-ся характер-ми или собственными числами оператора. Множество всех собств.значений наз-ся спектром оператора Р~. Многочлен в левой части уравнения (****) наз-ся характер.многочленом. Решая характ-кое уравнение (****) получаем собств.числа λ1,λ2…λn. Для каждого собств.значения λ, i-тая, найдем ненулевые векторы ядра оператора, которое задано матрицей (р=λiE). Именно эти ненулевые векторы и будут представлять собой собственные векторы, соответ.собств.значению λi. Общее решение однородной системы уравнений структурировано, т.е.представляет собой линейную комб-цию фунд-го набора решений. Число линейнонезавис.векторов в фунд.наборе наз-ся алгебраич.кратностью в фунд.наборе.Алгебраическая кратность собствен.значения (х-2)²=0, следовательно х1=х2=2.

Теорема (о независимости собственных векторов): Собственные векторы х1,х2…хn, которые соответ.собств-м значениям λ1,λ2…λn – линейнонезавис. Следствие из теоремы: На n-линейнонезавис.собствен.векторах можно построить базис n-мерного векторного пространства.