19. Система однородных линейных уравнений. Свойства однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений.

Система лин.уравнений наз-ся однородной, если все свободные члены равны 0.

фигурная скобка: а11х1+а12х2+…+х1nxn=0;

а21х1+а22х2+…+х2nxn=0;

… am1x1+am2x2+…+xmnxn=0.

В матричной форме система принимает вид: АХ=0.

Св-ва однородной системы уравнений:

1.Однородн.сист.всегда совместна, помкольку всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение.

2.Для существования ненулевых реш-й, ранг матрицы коэф-тов < числа неизвестных (r<n), т.е. число линейнонезависимых уравн.должно быть меньше числа переменных. В этом случае определитель равен0.

3.Если х1

х*= х2…

хn явл-ся решением системы *, то (х*)’=λх*= λх1

λх2 …

λхn λ-некоторое число, так же явл-ся решением системы *.

4.Если вектора х1*= и х2*=

являются решениями системы *, то и вектор

х3*=λ1х1*=λ2х2*=

Замечание: Всякая линейная комбинация решений однородной системы так же явл-ся реш-ем однородной системы.

Опред.: Решения х1*,х2*… х р.* системы наз-ся линейно-независимой, если лин.комбинация этих реш-й равна нулевому столбцу, только при условии λ1=λ2=…=λ р.=0.

Совокупность линейно-независ.решений х1*,х2*… х р.* однород.сист.наз-ся фундаментальной, если общее решение однородной сист.явл-ся линейн.комб-цией реш-й х1*,х2*… х р.*.

Теорема (о фундаментальных решениях однородной системы):

Если ранг матрицы коэф-тов однород.сист. меньше числа неизвестных переменных, то

1. суз-ет совокупность линейно-независ. реш-й системы; 2. чмсло линейно-независ. реш-й = n-r;

3. любое решение системы можно представить в виде лин.ком-ции фунд-го набора решений.

Замеч.: 1. Для нахождения множества решений однород.сист.,достаточно найти какой-нибудь ФНР системы и составить его линейную комб-цию.

2. Любая однород.сист.,имеющая ненулевые решения, обладает ФНР.

20.Однородная и неоднородная системы уравнений. Связь решений однородной и неоднородной системы линейных уравнений.

Если все свободные члены системы линейных уравнений равны 0, то система называется однородной, в противном случае — неоднородной. Если в системе все свободные члены заменить нулями, то мы получим

однородную систему:

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = 0;

a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 +…+ amnxn = 0;

которую будем называть однородной системой, соответствующей системе.

АХ=В

Теорема (об общем решении неоднородных систем уравнений):

Общее решение системы уравнений с n-переменных равно сумме общего решения соответ.однородной системе и некоторого частного реш-я неоднород.системы.

21. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Многоотраслевое хоз-во требует баланса между отдельными отраслями, каждая отрасль явл-ся производителем, а с др.стороны – потребителем другого. Возникает задача согласовать объемы производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить каждую отрасль. Эта задача может быть сформулирована в виде экономической межотраслевой модели (модель Леонтьева). Пусть производственная сфера состоит из n отраслей, каждая производит 1 продукт. Пусть хi – это валовой выпуск i-той отрасли (х-1х2>=0)? xj- это отрасли, объем продаж, который поставляется для i-той отрасли. Х-выпуски отраслей, У-вектор конечного спроса, А-матрица прямых затрат:

Х=АХ+У, (Е-А)Х=У, (Е-А) – невырождена и тогда вектор Х=Е-А, значит сущ-ет обратная матрица Х=(Е-А)⁻¹*У.

S=(Е-А)⁻¹ - матрица полных затрат; ее элементы имеют четкий эконом.смысл.

Пусть конечный спрос задан вектором У, т.е.требуется обеспечить конечный спрос на 1 единицу продукции первой отрасли. Тогда вектор выпусков отраслей:

Элемент матрицы S – есть выпуск продукции, кажд.из отраслей для обеспечения единицы конечного спроса на продукцию первой отрасли.