10.Основная теорема об определителе.

Опред-ль квадр.матрицы равен сумме произ-й эл-тов любой строки или любого столбца на их алгебр.дополнение.

/A/=a1i*A1i+a2i*A2i+…+ani*Ani – равенство наз-ся разлож.опред-ля i-той строки; /A/=a1j*A1j+a2j*A2j+…+anj*Anj – равенство наз-ся разлож.опред-ля

j-того столбца.

11.Понятие обратной матрицы.Критерий существования обратной матрицы.

Опр-е:Квад-ая матрица наз-ся вырожденной,есил ее опред-ль=0.

Опр-е:Матрица B наз-ся обратной к квад-ой невырожд-ой матрице A^-1 (B=A^-1),если выполняется условие:

A*B=B*A=E,где E-единич.матрица.

Теорема о сущест-и обратной матрицы:Обратная мат. A^-1 сущ и единственна тогда и только тогда,когда мат.A-невырожденна.

Свойства обратной матрицы:

1.Обратная матрица к обр-ой матрице,есть сама мат.A, (A^-1)^-1=A.

2.Трансп-е обр-ой мат. дает мат.,обр-ую к тран-ой (A^-1)^T=(A^T)^-1

3.Возведение в степень m обратной матрицы приводит к мат-це.обр-ой к матрице A^m; (A^-1)^m=(A^m)^-1.

4.Опр-ль обр-ой мат. равен величине обр-ой к опр-лю /A^-1/=1:/A/.

5.При нахождении обр-ой мат. к произ-ю матриц A и B меняет порядок сомножителей (A*B)^-1=B^-1*A^-1.

12.Обратная матрица.Способы нахождения обратной матрицы.

Введем элементарное преобраз-е над матрицами:

1)перестановка строк;2)перестановка столбцов;3)умнож-е строки на число k;4)умнож-е столбца на число k;5)прибавление(вычитание) к эл.одной строки соот-щих эл. другой,умнож. на число k;6)прибавление(вычитание) к эл. одного столбца,соот-щих эл. другого столбца,умнож-е на число K.

Теорема о нахождении обратной матрицы.

A^-1=1:/A/*(Aij*)^T, где /A/-опред-ль исх. матрицы; (Aij*)-матрица,сост-ая из алгебр.дополнений к элементам мат.A.

13.Ранг матрицы.Связь ранга с числом независимых строк.

Понятие ранга-одно из фундаментальных понятий лин.алгебры.

Рангом матрицы Am*n наз-ся наивысший порядок,отличных от нуля,миноров этой матрицы.

Свойства ранга:

1)Ранг нулевой матрицы равен 0-- r(0)=0;

2)Ранг не превосходит мини-го из пары чисел m и n:r(A)<=m;n {m;n};

3)Ранг квадр. мат.=n тогда,когда опред-ль /A/не равен 0; r(An)=n.

Теорема:элементарные преоб-я не меняют ранга матрицы.

Элементарные преоб-я:

1.Перестановка строк мат;

2.Прибавление к элем.одной строки соот. элем. другой строки умнож. на некоторое число;

Теорема:

Если строки(столбцы) линейнозависимы,то одно из них явл-ся линейной комбинацией другой.

Теорема о связи ранга мат.с число независимых строк:

Ранг матрицы равен числу её линейнонезависимых независимых строк.

14.Система лин. Ур-й.Элементарные преоб-я над системой.

Матричная запись сист.лин.ур-й.Понятие общего решения.

Система m-лин.ур-й относительно n-ур-й имеет вид:

{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}

{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}

…

{am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}

Решением сист-наз-ся упоряд.совокупность чисел альфа1,альфа2…альфа n,которая при постановке в сист,каждое ур-е превращает в тождество.

При решении сист. ур-я варианты случая:

1)сист. ур-я имеет 1 решение(совместная);

2)сист.ур-я имеет бесконеч.множ.реш-й(совмест.и неопредел-ая);

3)сист.ур-й не имеет реш-й(несовместная);

Матричная запись:AX=B;

Над сист.ур-я допустимы след.преоб-я:

1)перестановка строк;

2)умнож.обеих частей ур-я на одно и тоже число;

3)вычерк-е нул-вой строки из мат. коэф-тов или ур-я с нул-ми коэф.

4)прибавление к обеим частям одного ур-я соот.частей другого ур-я,умнож. на некоторое число;

В результате преоб-й сист.ур-й,в сист. может появится ур-е вида:

0x1+0x2+…+0xn=0(тривиальное ур-е вычеркивается)

В результате преб-я:

0x1+0x2+…+0xn=и

Тогда ур-е наз-ся противоречивым;сист.,содержащая противоречивое ур-е реш-й не имеет,она не совместна.

15.Реш-е сист.лин.ур-й методом Гаусса.

Пусть дана сист. m лин. ур-й, относительно n:

{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}

{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}

(am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}

Построим расширенную матрицу:

A р=(a11 a12…a1n/b1)

(a21 a22…a2n/b2)

(am1 am2..amn/bm)

Суть метода Гаусса:

С помощью элем.преоб-й расшир-я.мат.сист.приводится к треуг-му виду,после приведения начинается обратный ход метода Гаусса.

16.Решение системы уравнений, с помощью обратной матрицы. Рассмотрим систему n-линейных уравнений, относительно n-неизвестных. Матрица-квадратная и невырожденная, значит для нее сущ-ет обратная матрица. В матричной форме система уравн.принимает вид AX=В. Умножим обе части этого равенства на матрицу, обратную к матр. А. Тогда по определению обр.матрицы произведение А’*A*X=A⁻¹*B. Таким образом, для того, чтобы решить систему, нужно найти матр.обратную к матр.коэффициентов т умножить ее на столбец свободных членов B.

17. Система линейных уравнений. Формулы Крамера. Рассмотрим систему m-линейных уравнений относительно n-неизвестных:

фигурная скобка: а11 х1+а12 х2+…+а1n xn=b1

а12 х1+а22 х2+…+а2n xn=b2 …

аm1 x1+am2 x2+…+amn x n=bm

Матрица коэффициентов-квадратная.

Теорема (о решении системы уравнений с помощью определителей):

Пусть у квадратной матрицы коэф-тов системы n-линейных уравнений, относительно n-неизвестных, определитель не равен 0. Назовем этот определитель основным. Пусть ∆j – это определитель матрицы, получаемый из основного определителя заменой j-того столбца на столбец свободных членов. Назовем эти определители вспомогательными (∆1, ∆2, … ∆n), тогда система урав-й имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

; ;… Можно исследовать систему уравнений, если определитель =0.

∆1=∆2=…=∆n=0, в этом случае сист.уравнений имеет бесконечное множество решений. Если определитель равен 0 и хотя бы один вспомогательный опред-ль не равен 0, в таком случае система не имеет решений.

18. Система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Система лин.алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

А р. = (А|В) = (а11,а12…а1n|b1,

а21, а22 … а2n|b2,

… an1, an2 … ann|bn)

Теорема Кронекера-Капелли позволяет в компактном виде представить схему решения системы m-линейных уравнений, относительно n-неизвестных.

1) r (A)не равен r (A р.):

решений нет (система несовместна);

2) r (A)= r (A р.):

m-число уравнений, n-число неизвестных;

1. m<n; r<m; r=m. Система имеет бесконечное множество решений.

2. m=n; r<m Система исеет бескон.множество решений; r=m Единственное решение.

3. m>n; r<n Бесконеч.множ.реш-й; r=n Единственное реш-е.