8.Понятие матрицы.Виды матриц.Операции над матрицами.

Матрицей размерности m*n наз-ся прям-ая таблица чисел,содерж-я m строк и n столбцов.Числа,составляющие матрицу наз-ся элементами матрицы и обознаются aij: i-номер строки,j-номер столбца,на пересечении которых стоит это элемент.

Виды: Матрица,все элементы которой=0,наз-ся нулевой матрицей.

Матрица,сост. из 1 строки наз-ся матрицей-строкой A=(a11,a12..a1n)

Матрица,сост. из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом A=(a11)(a21)…(an1).

Матрица,у которой число строк совпадает с числом столбцов,наз-ся квадратной матрицей.

Матрица,у которой все недиагон.элементы равны 0,наз-ся диагон.матрицей.A=(100)

(020)

(003)

Квадратичная матрица,у которой на глав.диагонали стоят единицы,а все ост.элементы нули,наз-ся единичной матрицей.

E=(100)

(010)

(001)

Квадратичная матрица,у которой все элементы выше или ниже глав.диагонали=0,наз-ся треугольной матрицей.A=(123)

(034)

(005)

Матрица,сост-ая из двух матриц,наз-ся расши-ой матрицей.C=(A/B).

Операции над матрицами:

1.Две матрицы один-ой размерности Am*n, Bm*n наз-ся равными,если равны соот-щие элементы aij=bij.

2.Умнож-е матрицы на число.При умнож. матрицы на k,все элементы матрицы умнож. на это число k.

3.Суммы двух матриц один.размерности Cm*n=Am*n+Bm*n,наз-ся новая матрица,элементы которой,есть суммы соот-щих эл-тов матриц A и B.

4.Произ-е матриц.При умнож. матрицы должно выполняться правило размерности:при умнож. м.A на м.B число столбцов м.A должно совпадать с числом строк м.B.

5.Транспонирование.При транс-и мат.Am*n происходит переход к матрице A^T,у которой строки и столбцы меняются местами Am*n^T.

9.Понятие определителя квадратной матрицы,его свойства.

Каждой кавдратной матрице Am*n=An поставим в соот-е число,назовем его определителем квадратной матрицы /A/=det(A)=дельтаA. Это число вычисляется по след. правилу:

1)Если матрица состоит из одного числа,то ее определитель=самому числу

2)Определитель матрицы второго порядка-это разность произ-й диаг.элементов.

Опр-е.Пусть дана квадратная матрица порядка n,ее элементами явл-ся числа I и j. Минором эл. I и j наз-ся определитель MIj,полученный из определителя м.A,вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Опр-е.Алгебраическим дополнением aij квад. Матрицы Aij наз-ся число,равное Aij=(-1)^ij * Mij/

Свойства:

1.Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом=0.

2.При умнож.опред-ля на число K какая либо одна строка или один столбец умнож. на это число.

3.При транспон-и матрицы величина опред-ля не меняется.

4.При перестановке строк или столбцов величина опр-ля меняет свой знак на противоположный.

5.Опред-ль с двумя один. строками или двумя один. столбцами=0.

6.Опред-ль с двумя пропорц.строками(столбцами)=0.

7.Если эл-ты какой-либо строки(столбца) можно представить как сумму 2-ух слагаемых,то и сам опред-ль можно предст.как сумму двух опред-лей.

8.Величина опред-ля не меняется,если к эл-там одной строки прибавить соот. эл-ты другой строки умнож.на некоторое число.

9.Сумма произ-й эл-тов одной строки на алгебр.дополнение к эл-там др.строки матрицы=0.(ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0).

10.Опред-ль произ-я равен произ-ю определителей(/AB/=/A/*/B/).