24. Точка разрыва функции, их классификация.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. 

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

--Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

---Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

1)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

2)Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов

 называется скачком функции.

---Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

25. Задачи, приводящие к пониманию производной.

1)Задача о касательной

2)Задача о скорости прямолинейного неравномерного движения.

26. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Пусть функция  y=f(x)  определена в точке     и некоторой ее окрестности. 

Производной функции  y=f(x)  в точке   называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента  ,  при  (если этот предел существует и конечен), т.е.

Обозначают: . ,

Производной функции y=f(x) в точке справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен)

--Функцию имеющую производную в точке , называю дифференцируемой в этой точке.

--Философию имеющую производную в каждой точке интервала (a, b), называют дифференцируемой в этом интервале.

---Если функция дифференцируема на интервале (а, b) то в каждой точке этого интервале его производная принимает в полнее определенное значение, отличное от значений отличное, вообще говоря от значений других точках. След-но производная функции сама является функцией. Операция нахождения производной называется дифференцированием функций.

---Из определения производной и задачи о касательной следует геометрический смысл производной: значение производной в точке равен тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке.

--Из определения производной и о скорости прямолинейной неравномерного движения следует физический смысл производной: значение производной функции точки равно скорости изменения этой ф-ии в данной точки.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки: