17. Предел последовательности. Некоторые теоремы о пределах последовательностей. Монотонные последовательности.

В противном случае называют сходящийся.

-Последовательность сходится тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы ее пределов и некоторой малой последовательности.

(a-E, a+E) называют эпсилон окрестности т x=a

-Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

-Сходящаяся последовательность ограничена.

-Сумма (разность) 2-х сход-ся послед-ей, есть посл-ть сходящаяся и

-Произведение 2-х сх-ся посл-ти есть посл-ть сход-ся и

Монотонная последовательность

Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

--Последовательность называют:

1)возрастающей, если

2)неубыв-ей, если

3)убывающей, если

4)невозр-ей, если

--возрастающие и убывающие последовательности наз-ся строго монотонными .

--неуб-ие и невозр-ие просто монотонными.

-Монотонная ограниченная последовательность имеет предел т. е. сход-ся (число e=2,718281828459)

18. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при x-> бесконечности.

Число A называется пределом функции f(x) при x → x₀ (или в точке x₀), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x₀| < δ, справедливо неравенство |f(x) − A| < ε,   т.е. 

lim

x → x0

 f(x) = A     ЬЮ     " ε > 0   $ δ > 0 :     0 < |x − x₀| < δ Ю |f(x) − A| < ε.

19. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства.

--Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

---Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Функция  а(x) называется бесконечно малой (б.м.) функцией при  x -> a, если ее предел при x-> a равен нулю.

--Алгебраическая сумма двух б. м функций, есть функция б.м

--Алгебраическая сумма конечного числа б.м функций есть функция б.м

--произведение ограниченной функции на б.м. есть функция б.м.

--Произведение 2-х б.м. функцию, есть функция б.м.

--частное отделение б.м. функции на функцию имеющую отличную от нуля предел есть функция б.м.

--предел алгебраической суммы кон-го числа функции равен алг-ой сумме их пределов.

20. Основные теоремы о пределах функций.

-- Предел постоянной равен самой постоянной 

-- Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х->а, равен сумме их пределов

-- Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при х->а, равен произведению пределов 

--Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х->а, равен отношению их пределов 

21. Признаки существования предела. Замечательные пределы.

В более сложных случаях, чтобы установить, существует ли предел данной функции при  , используют признаки существования предела. Рассмотрим два из них:

--Теорема 1.  Если функция f(x) возрастает и ограничена сверху, т.е. остаётся меньше некоторого числа А , то она имеет некоторый предел a, причём  . Эту теорему примем без доказательства.

--Теорема 2 (о пределе зажатой переменной). Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и p(x), имеющими один и тот же предел, то она стремится к этому же пределу.

Два замечательных предела

--Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:

-- Вторым замечательным пределом называется предел