Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
--Если
определитель не равен 0, то она имеет
единственное решение, которое находят
по формуле Крамера:
,
…,
Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными.
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Алгоритм.
Два этапа:
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Векторы. Действия над векторами.
Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Вектор имеет две характеристики: длина и вектор.
Длину называют абсолютной величиной или модулем вектора и обозначают |a| или |AB|.
Если конечная точка В вектора АВ соответствует с его начальной точкой А, т.е. А=В, то вектор называют нулевым или нуль - вектором и обозначают 0. Направление произвольно.
Два вектора наз-ся равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление. Можно получит один вектор пар-ым переносом другого.
Два коллинеарных вектора наз-ся сонаправленными, если их направление совпадает или противоположно направленными в противном случае. Три вектора и более наз-ся коллинеарными, если они расположены в параллельных плоскостях.
Действие над векторами:
1)Сложение векторов.
(правило параллелограмма),(правило параллелепипеда).
(правило треугольника).
Свойства сложения:
1.a+b=b+a (коммутативность)
2.(a+b)+с=a+(b+c) (ассоциативность)
3.а+0=а (существование нуль вектора)
4.(-a)+a=0
2)Вычитание векторов.
Разность векторов a и b называют вектор d = a - b, который в сумме с вектором b дает вектор a.
3)Умножение вектора на число.
Произведением вектора a на скаляр k называется вектор b = ka = ak, имеющий длину ka, и направление, которого;
1. совпадает с направлением вектора a, если k > 0;
2. противоположно направлению вектора a, если k < 0;
3. произвольно, если k = 0.
Свойства умножения вектора на число.
1о. (k + l)a = ka + la.
k(a + b) = ka + kb.
2o. k(la) = (kl)a.
3o. 1×a = a, (–1) ×a = – a, 0 ×a = 0.
Ортом вектора a называется вектор единичной длины сонаправленный с вектором a.
Векторы a и b коллениарны тогда и только тогда, когда существует;
b=α*a