33. Правила Лопиталя.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа .

-Формулировка правила Лопиталя следующая:

Если и если функции f(x) и g(x) –дифференцируемы в окрестности точки .

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

34. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции на промежутке.

1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

--Если дифференцируемая на интервале функция f(x) возрастает (убывает) то для всех x

З. С геометрической т.з. утверждение означает, что касательная к графику возрастающей функции образует с осью угол a к графику убывающей функции тупой угол.

----Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и для всех x возрастает (убывает).

35. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

--О. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если при любом достаточно малом h >0,выполняются условия:

f(x ₀-h )>f (x ₀) и f(x ₀+ h)>f(x ₀),

т.е можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие

f ( x ) > f ( x ₀ ).

--О. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если при любом достаточно малом h >0,выполняются условия:

f(x ₀-h)< f(x ₀) и f(x ₀+h )< f(x ₀),

т.е если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f ( x ) < f ( x ₀ ).

На рис. 4.3 Приведены примеры точек максимума и минимума.

Точка х₁- точка максимума, х₂- точка минимума.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема.(Необходимое условие экстремума). Если функция y =f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная f^/( x ₀ ) равна нулю.

О. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарная точка необязательно является точкой экстремума функции.

О. Точка в которой производная функции равна 0 или не существует, называется критической точкой.

Теорема(Достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a , b], а точка x₀ из этого отрезка является критической. Тогда:

1) если f^/(x) < 0 на (a;x₀) и f^/(x) > 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка минимума функции f(x);

2) если f^/(x) > 0 на (a;x₀) и f^/(x) < 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка максимума функции f(x).

(с – на + то min, с + на – то max)