30. Производные некоторых элементов.

Производная любой элементарной функции также является функцией, т. е. операция диффер-ия не выводит из класса эл-ых функций.

31. Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x:

Тогда можно записать :

Следовательно:

Дифференциалом функции f(x) в точке x называется линейная часть приращения функции.

Обозначается: dy или df(x)

Можно также записать

--дифференциал функции f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

--Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1)      d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2)      d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3)      d(Cu) = Cdu

4)        

32. Теоремы о дифференцируемых функциях (т. Роля, Коши и Лагранжа).

-Теорема1 (Теорема Ролля)

Пусть функция f(x):

1. Непрерывна на отрезке [a, b]

2. Дифференцируема в интервале (a, b)

3. На концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка с принадлежащая (a, b) такая, что

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля.

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна ос OX (см.рис1)

-Теорема 2 (Теорема Лагранжа)

Пусть функция f(x):

1) непрерывна на отрезке [a, b]

2) дифференцируема в интервале (a, b)

Тогда существует точка с такая, что

Формула называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

-Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Представим формулу (1) в виде:

Число –есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика y = f(x) – точки (a, f(a)) и (b, f(b)), a – угловой коэффициент касательной к этому графику в точке (c, f(c)). Из формулы (2) следует, что существует точка с (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней.) (рис.2.)

-Теорема 3 (Теорема Коши)

Пусть ф-ия f(x) и g(x):

1)непрерывны на отрезке [a, b]

2)дифференцируемы в интервале (a, b)

3)x

Тогда существует точка с (a, b) такая, что