5.3. Интерполяция с помощью центральных функций и полиномов

В общем случае при интерполяции с помощью RBF-сетей в представлении искомой функции f учитываются дополнительно полиномы p(x). Соответственно общая форма представления функции f имеет вид:

N m

f (X) =  c_i h_i (|| X - X_i ||) + d_i p_i (X), m  n 14)

i=1 i=1

Полиномы p_i образуют при этом пространство полиномов _k-1(Rⁿ) из Rⁿ в R с максимальной степенью k-1, причем значение k задается. Для определенных центральных функций это дополнение полиномами является необходимым для решения проблемы интерполяции. Кроме того, введение полиномов способствует дополнительному сглаживанию функции f, т.е. таким способом могут быть существенно уменьшены колебания функции между опорными точками, следует однако учитывать, что это не относится к RBF-сетям, в которых в качестве центральных функций используются функции Гаусса. При этом можно показать, что проблема интерполяции разрешима и без циклических полиномов.

В общем случае для решения проблемы интерполяции необходимо определить коэффициенты c_i и d_i, т.е. N+m неизвестных. Условия интерполяции

f(X_j) = y_j, j = 1, 2, … , N

образуют первые N уравнений для определения параметров c_i и d_i

N m

 c_i h_i (|| X_j - X_i ||) + d_i p_i (X_j) = y_j, j = 1, 2, … , N (15)

i=1 i=1

Остальные m условий могут быть выбраны свободно. Для упрощения вычислений однако 2-е слагаемое в (15) обычно полагается равным нулю.

На основе теории аппроксимации можно утверждать, что система уравнений (15) имеет решение, если функции h_i положительно определены и имеют порядок k в Rⁿ.

Для более простой системы из N уравнений (9) центральные функции h_i положительно определены, а, следовательно, система уравнений разрешима. Приведем примеры классов допустимых центральных функций:

h (z) = exp (- (z/)² )

h (z) = 1 / (c² + z²)^ ,  > 0 (16)

______

h (z) =  z² + c²

До сих пор рассматривалось решение задачи интерполяции, когда искомая функция f(X) должна пройти точно через опорные точки. Она может быть решена с помощью RBF-сети с радиальными базисными функциями без дополнительных полиномов (рис. 1), содержащей входной слой, один скрытый слой и один входной нейрон.

Однако этим сетям присущ ряд недостатков:

График функции между опорными точками может содержать большие колебания, хотя условия интерполяции выполнены. Этот эффект может усиливаться при дополнительном использовании полиномов;

Точная интерполяция при обычно зашумленных (искаженных) результатах измерения не имеет особого смысла. Вместо точной интерполяции более обоснована аппроксимация неизвестной функции с помощью гладкой функции.

Порядок линейной системы уравнений пропорционален числу N применяемых опорных точек (образов обучающей последовательности). Размерность скрытого слоя соответствующей RBF-сети, которая идентична числу образов обучающей последовательности, также увеличивается при использовании каждого нового образа. Желательно однако, чтобы размер сети и затраты на решение линейной системы уравнений были бы по возможности независимы от числа образов или длины обучающей последовательности.

Эти требования фиксированного размера сети приводит к первому расширению RBF-сетей - так называемым обобщенным RBF-сетям (generalized radial basis function networks). С математической точки зрения мы сталкивается при этом не с задачей интерполяции, а с задачей аппроксимации. При этом не требуется, чтобы искомая функция f проходила через все опорные точки. Необходимо лишь минимизировать суммарную ошибку по всем опорным точкам при выполнении некоторых условий гладкости аппроксимирующей функции.