18.Простейшие движения твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях твердого тела.

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, дви-жется параллельно самой себе. Траектории точек твердого тела могут быть лю-быми кривыми линиями. Теорема: При поступательном движении твердого тела все точки дви-жутся поступательно, описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения. Докажем эту теорему. Пусть твердое тело совершает поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ. Положение точек А и В опре-делено радиусами-векторами и соответственно, а положение точки В относительно точки А - радиусом-вектором . Тогда , где = const, учитывая, что и тогда , но

Следовательно | |=| | (1.62)

Взяв производные от скоростей обеих точек, или | |=| |

Вращательным называется движение твердого тела, при котором все точки некоторой прямой, связанной с телом, остаются неподвижными во время движения. Эта прямая называется осью вращения.

(рис. 2.2.1)

Положение тела определено, если задан угол  между плоскостями  и , проходящими через ось вращения (  с единичным направляющим вектором ) (рис. 2.2.1) . Плоскость  неподвижна, а плоскость  жестко связана с телом. Угол  измеряется в радианах и изменяется с течением времени,  – уравнение вращательного движения твердого тела. Угловая скорость  характеризует изменение угла поворота с течением времени.

Угловое ускорение  – характеризует быстроту изменения угловой скорости.

Если угловая скорость  постоянна, то вращение называется равномерным и происходит по закону . Если угловое ускорение  постоянно, то вращение называется равнопеременным и происходит согласно уравнениям:

,         .

Модули скорости, ускорения, касательного, нормального ускорений точки вращающегося тела, находящейся на расстоянии  от оси вращения, определяются по формулам:

, , , ,  

Ускорение точки составляет угол  с направлением нормали, при этом

.

19. Векторные выражения для определения скоростей точек твердого тела при в ращательном движении.

Проведем из произвольной точки на оси вращения радиус-вектор в рас­сматриваемую точку тела (рис. 2.13). Тогда , поэтому

  , где символом обозначено векторное произведение вектора угловой скорости и радиуса-вектора . Вектор перпендикулярен к плоскости, проходящей через точку и ось вращения, и направлен в сторону вращения тела. Поэтому он совпадает с вектором скорости как по величине, так и по направлению. Таким образом,

. (2.40) А так как , то

или . (2.41) 

Легко показать, что вектор направлен по касательной к траектории точки в одну сторону со скоростью, если вращение ускоренное, и в противополож­ную сторону, если оно замедленное, а век­тор направлен по радиусу к оси вра­щения. Поэтому первый из них есть вектор вращательного, а второй - центростреми­тельного ускорения точки:

; (2.42)

. (2.43)