4. Дискретна інтерпретація операційного числення|обчислення| Мікусиньського

Як відомо, операційне числення|обчислення|, що дозволяє зводити диференціальні завдання|задачі| до алгебраїчних, виникло завдяки роботам англійського ученого Олівера Хевісайда (1859-1925), який запропонував формальні правила поводження з диференціальним оператором і деякими функціями від цього оператора. Строге|суворе| обгрунтування даного методу вперше|уперше| було дано за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Проте|однак| використання інтеграла Лапласа натрапляє|наштовхується| на обмеження, пов'язані із зростанням|зростом| перетворюваної функції при .

Інший шлях|колія,дорога| запропонований польським математиком Яном Мікусиньськім (1953), який спирався|обпирався| на поняття функціонального кільця. Метод Мікусиньського є радикальним поверненням до первинної операторної ідеї. При використанні цього методу не накладається ніяких|жодних| обмежень на поведінці функцій на нескінченності і, отже, область застосування|вживання| операційного числення|обчислення| Мікусиньського значно ширше, ніж операційного числення|обчислення|, що грунтується на перетворенні Лапласа.

Оскільки обидві теорії мають справу|річ| з|із| безперервними функціями, застосування|вживання| операційного числення|обчислення| до рішення задач має характер|вдачу| символьних перетворень. Це звужує можливості|спроможності| методу через те, що тільки|лише| достатньо|досить| прості завдання|задачі| допускають рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| в символьній формі.

При використанні чисельних методів безперервні функції апроксимують гратчастими функціями, які змінюються тільки|лише| при цілих значеннях аргументу До гратчастих функцій можна застосовувати дискретне перетворення Лапласа, проте|однак| за своєю природою воно також придатніше для символьних перетворень, оскільки оперує нескінченними|безконечними| сумами.

Нижче пропонується для чисельного вирішення завдань|задач| на комп'ютері використовувати дискретну форму операційного числення|обчислення| Мікусиньського, засновану на матричному представленні гратчастих функцій і матричних операторах.

Гратчасту функцію звичайно задають у вигляді нескінченної|безконечної| послідовності чисел: , Якщо для деякого натурального числа справедливо ( ), то тоді гратчасту функцію можна задати у вигляді кінцевої|скінченної| послідовності чисел:

. (11.3)

В цьому випадку зручно користуватися векторним представленням гратчастої функції:

. (11.4)

Позначення (11.3) і (11.4) надалі вважатимемо|лічитимемо| еквівалентними один одному. Індекси компонент вектора відповідають аргументам гратчастої функції, а самі компоненти – значенням функції у відповідних крапках|точках|. Безліч таких векторів розміром позначимо як .

Для наших цілей гратчасту функцію вигляду|виду| (11.3) або (11.4) зручніше представити|уявити| у вигляді нижньої трикутної матриці розміром

. (11.5)

Як можна бачити, перший стовпець матриці є|з'являється,являється| вектором . Другий одержане|отриманий| шляхом одиничного|поодинокого| зрушення|зсуву| всіх елементів першого стовпця вниз. Третій – шляхом подвійного зрушення|зсуву|, і т.д. Місця, що звільнилися|визволилися|, заміщаються нулями. Еквівалентність гратчастої функції матриці позначатимемо|значитимемо| таким чином: .

Доцільність приведеного уявлення|вистави,подання,представлення| пояснюється тим, що для трикутних матриць сума і |добуток|добич нижніх (верхніх) матриць є також нижня (верхня) трикутна матриця. Зворотний перехід від функції-матриці до функції-вектора здійснюється за допомогою наступної|такої| операції

(11.6)

де – вектор-стовпець розміром ( ).

Безліч нижніх трикутних матриць розміром позначається|значиться| як . Безліч матриць вигляду|виду| (11.5), яку ми позначимо як, є|з'являється,являється| власною підмножиною множини|безлічі| .

Згортка двох гратчастих функцій і може бути визначена таким чином:

, (11.7)

. (11.8)

Розглянемо|розгледимо| квадратну матрицю розміром : , . Якщо , то

(11.9)

В цьому випадку матриця володіє властивістю:

(11.10)

(для будь-якого цілого , що задовольняє умовам: , ). Якщо матриця володіє властивістю (11.10) і , то очевидно, що .

Теорема 11.1. Якщо і , то добич|добуток| матриць: .

Доказ.

1. Хай і|нехай і| . Тоді ,

, .

2. З урахуванням|з врахуванням| формули (11.9):

3. Звідси слідує|прямує|:

4. Якщо , то , що відповідає визначенню згортки (формула (11.8)).

5. Якщо , то: і . Отже: (для будь-якого цілого , що задовольняє умовам: , ). Тому: .

Теорема доведена.

Слідство|наслідок|. Множина|безліч| є|з'являється,являється| кільцем по складанню і множенню, і множення комутативний (оскільки операція згортки комутативна). Одиничну|поодиноку| матрицю позначатимемо|значитимемо| як , нульову: .

Розглянемо|розгледимо| нижню трикутну матрицю, ненульові елементи якої, рівні одиниці, розташовані|схильні| під головною діагоналлю:

. (11.11)

Тобто|цебто|

Якщо цю матрицю помножити на матрицю , то елементи добичі|добутку| виявляться зміщеними на один рядок вниз в порівнянні з положенням|становищем| елементів матриці, а місця, що звільнилися|визволилися|, заміщаються нулями.

.

Тому ми називатимемо матрицю оператором зрушення|зсуву|. За допомогою оператора зрушення|зсуву| можна виразити|виказати,висловити| матрицю через компоненти вектора :

, (11.12)

де – одинична|поодинока| матриця.

Якщо прийняти , то (10.12) можна переписати у вигляді|виді|

. (11.13)

Теорема 11.2. Якщо матриця має розмір , то

(10.14)

Доказ.

Всі елементи матриці рівні нулю, за винятком одного. Це елемент в нижньому лівому кутку, який рівний одиниці. Оскільки матриця діє як оператор зрушення|зсуву|, то . Далі, переходячи до добичі|добутку| (і всім наступним|слідуючим| за нею), враховуємо, що результатом перемножування матриці на нульову матрицю є|з'являється,являється| нульова матриця.

Слідство|наслідок|. Матрицю можна представити|уявити| у вигляді нескінченного|безконечного| статечного|поважного| ряду|лави,низки|

. (11.15)

Зауваження. Розглянемо|розгледимо| матрицю . З|із| формули (11.15) виходить

.

Формально матриця – це виробляюча функція послідовності чисел аргументом якої є . Як сказав американський учений Д. Гіббс: «Математика є мистецтво називати різні предмети одним ім'ям». Символи в z-перетвореннях і в матричних рівняннях еквівалентні один одному, що дозволяє використовувати формули z-перетворення в дискретному операційному численні|обчисленні|. Проте|однак|, оскільки , то не має зворотної матриці.

Теорема 11.3.

( ). (11.16)

Доказ. З|із| формул (10.12) і (10.14) слідує|прямує| що

.

Враховуючи дію матриці як оператора зрушення|зсуву|, приходимо до формули (11.16).

Теорема 11.4. Якщо – довільна квадратна матриця, то

. (11.17)

Доказ. Умножаючи|множивши| обидві частини|частки| рівняння (11.17) справа на , приходимо до тотожності

.

Слідство|наслідок|. Якщо , то справедлива формула

. (11.18)

Формула (11.18) безпосередньо виходить з формул (11.17) і (11.14).

Розглянемо|розгледимо| матрицю, визначувану таким чином:

. (11.19)

Теорема 11.5. Якщо , то

( ). (11.20)

Доказ. На підставі визначення (11.12) і (11.19) можемо записати:

Далі, враховуючи дію матриці як оператора зрушення|зсуву| і формулу (11.6), приходимо до формули (11.20).

Через властивість (11.20) матрицю називатимемо оператором підсумовування. Оператор є|з'являється,являється| дискретним аналогом оператора інтегрування в операційному численні|обчисленні| Мікусиньського.

Оператором віднімання назвемо|накликатимемо| матрицю, визначувану виразом|вираженням|

. (11.21)

Теорема 11.6.

. (11.22)

Доказ. Згідно формулі (11.18):

.

Оператор є|з'являється,являється| дискретним аналогом оператора диференціювання в операційному численні|обчисленні| Мікусиньського. Кінцева|скінченна| різниця може бути визначена таким чином:

.