Метод рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| неоднорідного рекурентного рівняння
Розглянемо|розгледимо| неоднорідне лінійне рекурентне рівняння
,
n = 0, 1, 2 ..., коефіцієнти – це задані постійні, причому , а – задана функція n. Для завдання|задавання| початкових умов фіксуємо значення .
Припустимо|передбачимо|,
що одне рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
рівняння знайдене. Назвемо|накликатимемо|
це рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
приватним і позначимо через
.
Покладемо
.
Тоді:
.
Оскільки|тому що| другий член в лівій частині|частці| останньої рівності рівний правій частині|частці|, то
.
Це
означає, що
є|з'являється,являється|
рішенням|розв'язанням,вирішенням,розв'язуванням|
однорідного лінійного рекурентного
рівняння, відповідного
=
0.
Таким
чином, якщо знайдено приватне
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|,
то можна знайти загальне|спільне|
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
однорідного рекурентного рівняння.
Після чого за початковими умовами можна
визначити невизначені|неозначені|
коефіцієнти. Для деяких функцій
приватне рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
можна знайти достатньо|досить|
просто. Так, у випадку якщо
,
де
– константа, то приватним
рішенням|розв'язанням,вирішенням,розв'язуванням|
є|з'являється,являється|
, (10.2)
де
– характеристичний поліном.
Доказ.
Підставляючи
,
де с|із|
– постійна, в неоднорідне
рекурентне рівняння, одержуємо|отримуємо|
.
Таким чином:
.
Звідси слідує|прямує|
формула (10.2).
Приклад|зразок|
10.5. Знайти
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
рівняння
з|із|
початковими умовами
.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|:
Дане рівняння має характеристичний
поліном
.
Якби права частина|частка|
рівняння була рівна
,
то приватним
рішенням|розв'язанням,вирішенням,розв'язуванням|
було б
.
Для
відповідне приватне
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
.
Загальне|спільне|
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
рівне:
.
За початковими умовами знаходимо|находимо|:
,
,
,
,
.
Якщо є|з'являється,являється| поліномом від n ступеня|міри| k
і одиниця
не є|з'являється,являється|
характеристичним коренем рекурентного
рівняння, тобто
,
то приватне рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
слід шукати у вигляді|виді|:
.
Підставляючи цей поліном в неоднорідне рекурентне рівняння, одержимо|отримаємо|:
.
Оскільки|тому
що|, то порівнюючи
коефіцієнти при вищих ступенях|мірах|
в лівій і правій частинах|частках|
останньої рівності, можна визначити
значення
і далі послідовно коефіцієнти
.
Приклад|зразок|
10.6. Знайти
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
рівняння
з|із|
початковою умовою
.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|:
Знаходимо|находимо|
характеристичний поліном:
;
.
Оскільки
,
то k=1.
З цього виходить, що|значить|
.
Записуємо|занотовуємо|
рекурентне рівняння
.
Звідси
слідує|прямує|
.
Загальне|спільне|
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|:
.
З|із|
початкової умови знаходимо|находимо|
і
.