Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| однорідного рекурентного рівняння
Однорідне рекурентне рівняння виходить при (n) = 0. Метод рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| є|з'являється,являється| узагальненням рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| попереднього прикладу|зразка|. Спочатку виробляюча функція знаходиться|перебуває| як раціональна функція, яка далі представляється у вигляді суми часткових дробів і розкладається в статечній|поважній| ряд|лава,низка|. Припустимо|передбачимо|, що послідовність чисел задовольняє наступному|такому| однорідному лінійному рекурентному рівнянню
.
де – задані числа і .
Для
завдання|задавання|
початкових умов фіксуємо значення
.
Позначимо через F(z)
виробляючу функцію послідовності
По заданих постійних коефіцієнтах
рівняння побудуємо|спорудимо|
поліном
.
Цей
поліном можна розглядати|розглядувати|
як виробляючу|виробляє,справляє|
функцію послідовності:
.
Коефіцієнт
при
і r
0 в добичі|добутку|
виробляючих функцій
|виробляють,справляють|
визначається співвідношенням
Він рівний нулю, оскільки рекурентне рівняння однорідне. Це означає, що поліном
має ступінь|міру| найбільше (r–1), а отже, ступінь|міра| чисельника раціональної функції F(z)= C(z)/ K(z) менше ступеня|міру| знаменника.
Характеристичним поліномом лінійного однорідного рекурентного рівняння називається поліном:
,
що
має ступінь|міру|
“r”;
коріння цього поліному називаються
характеристичними.
Якщо різне характеристичне коріння
(серед яких можуть бути уявні) позначити
через
,
а їх кратності
позначити
через
,
то можна записати наступну|слідуючу|
рівність:
,
.
Характеристичний
поліном
і поліном K(z)
зв'язані між собою співвідношенням
.
Звідси витікає, що
.
Використовуючи це, можна записати
,
де
– невизначений|неозначений|
коефіцієнт.
Кожен
дріб цієї суми має вигляд
|вид|,
тому її можна розкласти в статечній|поважній|
ряд|лава,низка|
наступного|слідуючого|
вигляду|виду|:
.
Коефіцієнт
при
в цьому ряду|лаві,низці|
рівний
.
Якщо відмітити|помітити|, що біноміальний коефіцієнт
,
що
входить в останню рівність,
є|з'являється,являється|
поліномом ступеня|міри|
по
,
то легко перевірити, що
,
де
–
поліном від
ступеня|міри|
найбільше
.
Отже
і
–
є|з'являється,являється|
загальним|спільним|
рішенням|розв'язанням,вирішенням,розв'язуванням|
однорідного лінійного рекурентного
рівняння.
Приклад|зразок| 10.3. За допомогою загального|спільного| методу знайти загальний|спільний| член послідовності чисел Фібоначчі.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|:
Рівняння
має характеристичний поліном
,
де
;
.
В цьому випадку
і
і, отже,
і
– поліноми ступеня|міри|
0 від n,
тобто постійні. Тому
,
де
і
– невизначені|неозначені|
постійні. Оскільки
|тому
що|,
то, підставляючи n
= 0, 1, одержуємо|отримуємо|
;
.
Вирішуючи|рішаючи|
ці рівняння, знаходимо|находимо|
; 
.
Звідси
слідує|прямує|:
.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
цієї вправи показує, що якщо все
характеристичне коріння
є|з'являється,являється|
простим, то загальне|спільне|
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
однорідного рівняння має вигляд|вид|:
,
де
,
,
…,
– це «r»
невизначених|неозначених|
постійних. Для визначення цих постійних
використовуються r
початкових
умов, а саме значення
.
Якщо
є|з'являється,являється|
коренем кратності
,
то
є поліномом ступеня|міри|
:
,
де
–
невизначених|неозначених|
постійних. Початкові умови однозначно
визначають все «r»
невизначених|неозначених|
постійних.
Приклад|зразок|
10.4. Знайти
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|
рівняння
з|із|
початковими
умовами
,
.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|:
Оскільки|тому
що|
характеристичний поліном
має корінь z
=
2 кратності 2, то
.
За допомогою початкових умов
знаходимо|находимо|:
;
; 
.
Таким чином, рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| даного рівняння:
.