Лекція № 10. Рекурентні рівняння

1. Вступ|вступ|

Лінійним рекурентним рівнянням з|із| постійними коефіцієнтами називається рівняння вигляду|виду|

. (10.1)

Це рівняння справедливо для всіх ненегативних цілих чисел n. Коефіцієнти – це фіксовані числа, причому , а – задана функція n. Якщо зафіксувати значення і розглядати|розглядувати| їх як початкові умови, то крок за кроком можна однозначно визначити значення , і таким чином визначити всю послідовність .

Такий алгоритм зручно використовувати при чисельному рішенні|розв'язанні,вирішенні,розв'язуванні| рекурентного рівняння на комп'ютері. Проте|однак| існують і аналітичні способи рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| цих рівнянь. Один з таких способів використовує так звані виробляючі функції|виробляють,справляють|. Вперше|уперше| метод виробляючих функцій|виробляють,справляють| був застосований французьким математиком Лапласом (1749-1827) для вирішення деяких проблем теорії вірогідності|ймовірності|.

2. Виробляюча функція|виробляє,справляє|

Статечної|поважної| ряд |лава,низка|, коефіцієнтами якого є|з'являються,являються| елементи послідовності , називається виробляючою функцією|виробляє,справляє|. Послідовність чисел однозначно визначає виробляючу функцію,|виробляє,справляє| але|та| зворотне твердження|затвердження| вірно не завжди. Якщо вказаний статечною|поважною| ряд|лава,низка| сходиться, то коефіцієнти визначаються по F(z) однозначно. Виробляюча функція відрізняється від z-перетворення тільки|лише| тим, що ступені|міри| (при розкладанні цієї функції в статечній|поважній| ряд|лава,низка|) позитивні, тоді як у|в,біля| z-перетворення – вони негативні|заперечні|. Простою заміною змінної можна перетворити виробляючу функцію в z-перетворення. Тому для виробляючих функцій справедливі всі теореми дискретного перетворення Лапласа.

Хай|нехай| – виробляюча функція послідовності чисел |виробляє,справляє|, а а і b – довільні фіксовані числа.

Оскільки , то послідовності відповідає функція, що проводить|виробляє,справляє| . Це відповідає властивості лінійності перетворення Лапласа. Далі, якщо узяти добич|добуток| виробляючих функцій|виробляють,справляють|

,

то послідовність чисел може бути одержана|отримана| з|із| послідовностей і за допомогою співвідношення

.

Остання формула виходить з теореми про згорток двох гратчастих функцій.

Приклад|зразок| 10.1. Знайдемо виробляючі функції послідовностей чисел {1}|виробляють,справляють і {n}.

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: Послідовності {1} відповідає ряд|лава,низка|:

.

Для доказу необхідно ліву і праву частину|частку| помножити на .

Послідовності чисел {n} відповідає ряд|лава,низка|

.

Оскільки вираз|вираження| в дужках в правій частині|частці| рівності виходить диференціюванням ряду |лави,низки|, то він дорівнює похідній від функції 1/(1 – z). Отже, права частина|частка| рівна

.

Наступне|таке| завдання|задача| показує, що виробляючі функції можуть бути корисними при рішенні|розв'язанні,вирішенні,розв'язуванні| лінійних рекурентних рівнянь.

Приклад|зразок| 10.2. Вирішити|розв'язати| рівняння (рівняння Фібоначчі) з|із| початковими умовами .

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: Позначимо через F(z) виробляючу функцію послідовності чисел|виробляє,справляє| . Умножаючи|множивши| обидві частини|частки| рекурентного рівняння на , одержимо|отримаємо|

, n = 0, 1, 2, ...

Складаючи цю рівність для всіх n від 0 до , маємо:

.

Відмітимо|помітимо|, що перша сума в лівій частині|частці| рівності рівна різниці функції F(z) і перших двох членів її розкладання, друга сума рівна різниці F(z) і першого члена, а третя сума рівна F(z). Тому можемо записати

[F(z) – (1 + z)] – z [F(z) – 1] – z² F(z)= 0.

Звідси знаходимо|находимо|

,

де ; . В результаті одержимо|отримаємо|

.

Таким чином:

Члени послідовності, одержаної|отриманої| в цьому завданні|задачі|, відомі як числа Фібоначчі.