Лекція № 9. Звичайні диференціальні рівняння
Вступ|вступ|
Звичайні диференціальні рівняння (ЗДР) не відносяться до області дискретної математики. Ми розглянемо|розгледимо| цей тип рівнянь для того, щоб показати їх зв'язок з|із| кінечно-різницевими рівняннями, які вивчаються в курсі дискретної математики.
Розглянемо|розгледимо|
безперервну функцію
,
що має n
похідних:
,
,
... ,
.
Рівняння вигляду|виду|
(9.1)
де
і
– відомі функції
,
називається лінійним
ЗДР n-го порядку|ладу|.
Функція наперед|заздалегідь| невідома. Її одержують|отримують| в ході рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| диференціального рівняння (9.1). Тому цю функцію називають невідомою функцією або рішенням|розв'язанням,вирішенням,розв'язуванням| диференціального рівняння.
У
загальному|спільному|
випадку рівняння (9.1) має нескінченну|безконечну|
безліч рішень|розв'язань,вирішень,розв'язувань|.
Щоб виділити з|із|
них єдине рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|,
потрібно задати так звані початкові
умови:
,
,
... ,
.
Якщо яка-небудь з|із| похідних в рівнянні: , , ... , , або сама функція , піднесена до ступеня, відмінного|іншого| від першої, те таке диференціальне рівняння називається нелінійним.
У
приватному випадку, замість функцій
,
в рівняння (9.1) можуть входити постійні
коефіцієнти
(не залежні від
).
Тоді диференціальне рівняння називається
рівнянням
з|із|
постійними коефіцієнтами.
Звичайні диференціальні рівняння часто виникають при рішенні різноманітних|всіляких| фізичних, технічних, економічних і соціальних задач.
Приклад|зразок| 9.1. Розглянемо|розгледимо| електронну схему, показану на мал. 9.1.
Мал.
9.1.
-
ланцюг
Схема
складається з котушки|катушки|
індуктивності,
резистора опором
і конденсатора місткістю|ємкістю|
.
Падіння напруги|напруження|
на котушці|катушці|
визначається виразом|вираженням|
, (9.2)
, (9.3)
де
– це час,
– струм|тік|,
що протікає через резистор,
– струм|тік|,
що протікає через конденсатор. На
підставі|основі,заснуванні|
(9.2) і (9.3) можемо записати
.
Після|потім| перетворень одержимо|отримаємо| лінійне диференціальне рівняння другого порядку|ладу|:
.
У загальноприйнятих позначеннях
. (9.4)
Для
даної електронної схеми відома функція
має сенс вхідного сигналу, а невідома
функція
– це залежний від
вихідний сигнал. Задаючи вхідний сигнал
і вирішуючи|рішаючи|
ЗДР (9.4), можна набувати відповідного
значення вихідного сигналу. Тому
диференціальне рівняння (9.4)
є|з'являється,являється|
математичною моделлю електронної схеми,
за допомогою якої можна досліджувати
роботу схеми теоретично, не збираючи
її з|із|
електронних компонентів.
Операційне числення|обчислення|
Існують різні способи рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| диференціальних рівнянь. У даному розділі ми ознайомимося із|із| способом, що використовує операційне числення|обчислення|. Цей спосіб застосовується до лінійних ЗДР, він дозволяє перетворювати диференціальне рівняння в алгебраїчне.
Винахідником
операційного числення|обчислення|
є|з'являється,являється|
Олівер Хевісайд (1859-1925), англійський
вчений та інженер. Він ввів|запровадив|
оператора диференціювання, який позначив
латинською буквою|літерою|
(зараз цього оператора прийнято
позначати|значити|
буквою|літерою|
)
і розробив правила поводження з цим
оператором.
Приклад|зразок| 9.2. Застосуємо метод Хевісайда до рівняння (9.4):
Припустимо|передбачимо|, що на вхід схеми поданий ступінчастий|східчастий| вхідний сигнал
а на
виході в початковий момент часу маємо:
,
(нульові початкові умови). Початкове|вихідне|
рівняння при
перетвориться до наступного|слідуючого|
вигляду|виду|:
.
Потім
Хевісайд перетворював диференціальне
рівняння в алгебраїчне, при цьому
оператор диференціювання перетворювався
на звичайну|звичну|
змінну
.
Невідома функція
при переході зверталася|оберталася|
в добич|добуток|:
,
похідна першого порядку|ладу|
– в:
,
похідна другого порядку|ладу|
– в:
.
.
Вирішуючи|рішаючи| це алгебраїчне рівняння відносно , приходимо до рівняння
.
Одержане|отримане| рівняння ще не є|з'являється,являється| остаточним. Необхідні перетворення, що дозволяють перейти від змінної до змінної, функції, що є|з'являється,являється| аргументом . Ці перетворення проводяться|виробляються,справляються| відповідно до алгоритму:
,
де
– коріння рівняння
,
.
Після|потім| перетворень остаточно одержимо|отримаємо|
.
Графік функції при значеннях параметрів R=1; C=2; L=0,1 – показаний на мал. 9.2.
Мал. 9.2. Реакція - ланцюга на ступінчастий|східчастий| вхідний сигнал