2. Сума непарних чисел

Почнемо з питання: «Що ми одержимо|отримаємо|, якщо підсумуємо перші n непарних чисел?». Безпосередні обчислення|підрахунки| дають наступний|такий| результат.

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

1+3+5+7+9+11 = 36

1+3+5+7+9+11+13 = 49

1+3+5+7+9+11+13+15 = 64

1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100

Можна відмітити|помітити|, що у кожному випадку сума рівна . Чи так буде для всієї решти випадків при будь-якому n? Для доказу цього необхідно застосувати метод математичної індукції, який полягає в наступному|слідуючому|.

Допустимо, що ми хочемо довести яку-небудь властивість для будь-яких позитивних цілих чисел. Також припустимо|передбачимо|, що ми можемо довести два факти:

(а) одиниця має цю властивість, і

(б) якщо n–1 має цю властивість, то n також має цю властивість ( ).

Принцип математичної індукції стверджує, що якщо вірні пункти (а) і (б), то кожне натуральне число володіє даною властивістю.

Застосуємо цей принцип до розглянутого|розгледіти| вище прикладу|зразка| суми перших n непарних чисел. Ми підозрюємо|підозріваємо|, що ця сума рівна для будь-якого n. Тобто|цебто|:

1+3+…+ (2n–3) + (2n–1) = .

Одиниця володіє цією властивістю: . Допустимо, що n–1 також володіє цією властивістю. Тоді можемо записати:

.

Додаючи|добавляючи| до цієї суми член (2n–1), одержимо|отримаємо|:

,

що і слід було довести.

3. Сума натуральних чисел

А зараз використовуємо метод індукції для доказу того, що сума перших n позитивних цілих чисел рівна . Якщо n = 1, то, тобто одиниця володіє вказаною властивістю. Припустимо|передбачимо|, що сума перших n – 1 натуральне число також володіє цією властивістю, тобто вона рівна: . Додавши до цієї суми число n, одержимо|отримаємо|:

.

Таким чином, сума перших n позитивних цілих чисел також володіє вказаною властивістю. Таким чином|значить|, ми можемо стверджувати, що дана формула справедлива для будь-якого натурального n.

Необхідно відмітити|помітити|, що метод індукції дозволяє перевіряти вже відомі формули, але|та| не дозволяє виводити нові формули. Для отримання|здобуття| нових формул доводиться напружувати творчі здібності. Приведемо наступний|такий| історичний приклад|зразок|.

Карл Фредерік Гаус (1777-1855), один з найбільш великих математиків всіх часів і народів, вчився в початковій школі, коли його вчитель|учитель| задав класу завдання|задачу| підсумувати всі цілі числа від 1 до 1000, він розраховував на час відпочинку, поки|доки| його учні будуть зайняті|позичені,посісти| справою|річчю|. Як же було його здивування|подив|, коли Гаус майже миттєво одержав|отримав| правильну відповідь! Його рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| було дуже простим: підсумовуючи перше число з|із| останнім, він одержав|отримав| 1 + 1000 = 1001; підсумовуючи друге з|із| передостаннім: 2 + 999 = 1001 і т.д. Всього сум, рівних 1001, вийшли п'ятсот. Таким чином, відповідь рівна: 500 · 1001 = 1000 · 1001/2 = 500500.

4. Знову рахуємо підмножини

Доводячи теорему 3.1. ми неявно користувалися методом математичної індукції. Тепер прийшов час застосувати його явно. Отже, ми підозрюємо|підозріваємо|, що число всіх підмножин множини|безлічі| з|із| n елементів рівне . Якщо n = 1, то . Тобто|цебто| ми маємо порожню|пусту| підмножину і підмножину, що складається тільки|лише| з одного елементу – результат вийшов вірний. Допустимо, що множина|безліч| складається з n – 1 елемент, тоді загальна|спільна| кількість підмножин рівна . Вважаємо|гадаємо| це твердження|затвердження| істинним.

Додавання|добавка| ще одного елементу в початкову|вихідну| множину|безліч| приведе до того, що з'являться|появляться| нові підмножини. Всього таких нових підмножин буде , оскільки ми можемо додати|добавити| новий елемент в кожну «стару» підмножину (в тому числі і в порожню). В результаті одержимо|отримаємо|, що загальна|спільна| кількість підмножин доповненої множини|безлічі| рівна:

.

Таким чином, наш результат підтверджує теорему 3.1.