Проблема континууму
Кантор
був першим, хто став розглядати|розглядувати|
потужності (кардинальні числа)
нескінченних|безконечних|
множин|безлічі|.
Потужність рахункової множини|безлічі|
він позначив староєврейською
буквою|літерою|
«алеф|»
з|із|
нульовим індексом:
.
Потужність безлічі дійсних чисел, звану
також потужністю
континууму,
позначив як:
.
Відомо, що кардинальне число
більше кардинального числа
.
На початку 80-х років 19 століття|віку|
Кантор висловив гіпотезу про те, що
найближчою наступною|слідуючою|
за
потужністю є|з'являється,являється|
потужність континууму
.
Узагальнена континуум-гіпотеза свідчить,
що для будь-якої множини|безлічі|
перша потужність, що перевершує потужність
цієї множини|безлічі|,
є потужність безлічі всіх підмножин
множини|безлічі|
.
Таким чином
,
,
…
Лекція № 4. Математична індукція і біном ньютона
Види доказу
Стародавні|древні| греки сформулювали основні правила логічного доказу. Вони розрізняли два види доказу: дедукцію і індукцію. Дедукція – це доказ від загального|спільного| до приватного. Індукція – навпроти|напроти|, доказ від приватного до загального|спільного|.
Розглянемо|розгледимо| класичний приклад|зразок|. Задана так звана велика посилка|посилання| (або загальне|спільне| твердження|затвердження|): «Всі люди смертні». Також задана мала посилка|посилання| (приватне твердження|затвердження|): «Сократ – людина». З|із| цих посилок|посилань| методом дедукції легко одержати|отримати| висновок|укладення,ув'язнення|: «Сократ – смертний». У великій і малій посилках|посиланнях| міститься|утримується| досить|достатньо| інформації, щоб бути абсолютно упевненим в цьому.
Якщо з|із| малої посилки|посилання| і висновку|укладення,ув'язнення| одержують|отримують| велику посилку|посилання|, то такий метод доказу називається індукцією. У малій посилці|посиланні| «Сократ – людина» і висновку|укладенні,ув'язненні| «Сократ – смертний» не міститься|утримується| досить|достатньо| інформації, щоб дійти твердження|затвердження|: «Всі люди смертні». Ми можемо розглядати|розглядувати| його тільки|лише| як гіпотезу. Припустимо, опиниться, що смертний не тільки|не лише| Сократ, але і Платон, який також є|з'являється,являється| людиною. Ступінь|міра| нашої упевненості зростає, проте|однак| вона ніколи не буде абсолютною, оскільки в майбутньому, можливо, народиться людина, яка житиме вічно (а раптом?).
Таким чином, дедукція володіє незаперечною|безперечною| перевагою перед індукцією. Проте|однак| наукове знання, як правило, одержують|отримують| методом індукції, оскільки в готовому вигляді|виді| загальні|спільні| твердження|затвердження| людині ніхто не посилає, доводиться ґрунтуватися на приватному досвіді|досліді|. Навіть геніальні осяяння є|з'являються,являються| результатом тривалих спостережень і роздумів.
Математики нового часу ввели|запровадили| ще один тип доказу, невідомий старогрецьким|давньогрецьким| математикам, абдукцію. Цей доказ малої посилки|посилання|, заснований на великій посилці|посиланні| і висновку|укладенні,ув'язненні|. У нашому прикладі|зразку| на підставі тверджень|затверджень|: «Всі люди смертні» і «Сократ – смертний», ми можемо вивести методом абдукції твердження|затвердження|, що: «Сократ – людина». Очевидно, що цей вид доказу теж|також| не такий|настільки| бездоганний, як дедукція. Адже Сократ цілком|сповна| може виявитися котом або собакою, які також смертні.
Математична індукція грає величезну роль в дискретній математиці (саме через її дискретний характер|вдачу|). Одержані|отримані| цим методом докази в даній області математики майже такі|настільки| ж надійні, як і ті, що виведені дедуктивним шляхом|колією,дорогою|.