3. Порівняння множин|безлічі|

Множина|безліч| міститься|утримується| в множині |безлічі|, якщо кожен елемент є елемент . Записується|занотовується| це наступним|слідуючим| способом: . В цьому випадку називається підмножиною . Якщо і , то називається власною підмножиною .

Потужність множини|безлічі| позначається|значиться| як . Для кінцевих|скінченних| множин|безлічі| потужність – це число елементів. Наприклад, , але|та| . Якщо , то множини|безліч| і називаються рівнопотужними.

Іноді|інколи| в літературі замість потужності множини|безлічі| використовується інший рівнозначний йому термін: кардинальне число множини|безлічі| (від латинського cardinalis – головний). Цей термін був введений|запроваджений| Георгом Кантором.

4. Операції над множинами|безліччю|

Звичайно розглядаються|розглядуються| наступні|слідуючі| операції над множинами|безліччю|:

• Об'єднання: .

• Перетин: .

• Різниця: .

• Симетрична різниця:

.

• Доповнення: .

Операція доповнення має на увазі деякий універсум:

.

• Декартові добич|добуток| множин|безлічі|:

.

Декартові добич|добуток| двох множин|безлічі| і є безліч всіх впорядкованих пар (x, у|в,біля|), де і .

Приклад|зразок| 3.2. Хай|нехай| , . Тоді

, , , .

На мал. 3.1 приведені діаграми Ейлера, що ілюструють операції над множинами|безліччю|. Самі початкові|вихідні| множини|безліч| зображаються|змальовуються| геометричними фігурами (нескінченна|безконечна| безліч крапок|точок| на площині|плоскості|), результат виділяється за допомогою штрихування.

Мал. 3.1. Діаграми Ейлера

5. Властивості операцій над множинами|безліччю|

Хай|нехай| заданий універсум . Тоді виконуються наступні|такі| властивості.

1. Інволютівность:

;

2. Ідемпотентність:

, ;

3. Комутативність:

, ;

4. Асоціативність:

, ;

5. Дистрибутивність:

, ;

6. Поглинання:

, ;

7. Властивість нуля:

, ;

8. Властивість одиниці:

, ;

9. Закони де| Моргана:

, ;

10. Властивості доповнення:

, ;

11. Вираз|вираження| для різниці:

.

6. Булеан

Безліч всіх підмножин множини|безлічі| називається булеаном|.

Теорема 3.1. Множина|безліч| з|із| n елементів має підмножин.

Доказ: Цю теорему можна довести різними способами (так само, як і багато інших теорем). Ми доведемо її, використовуючи бінарні представлення чисел. Припустимо|передбачимо|, що ми маємо множину|безліч| з|із| трьох елементів . Кожну підмножину цієї множини|безлічі| зашифруємо за допомогою бінарного коду. Цей код складатиметься з трьох біт (по кількості членів початкової|вихідної| множини|безлічі|). Якщо в даній підмножині присутній елемент , першому біту коду привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Якщо в підмножині присутній елемент , другому біту привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Якщо в підмножині присутній елемент , третьому біту привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Розглядаючи|розглядуючи| всі можливі підмножини початкової|вихідної| множини|безлічі|, включаючи порожню|пусту| множину|безліч|, отримаємо наступний|такий| результат.

Як можна бачити, підмножини множини|безлічі| відповідають восьми числам: 0, 1, ..., 7. Ми розглянули|розгледіли| всі бінарні комбінації в межах трьох біт. Як відомо, кількість таких комбінацій рівна .

Застосовуючи даний метод до множини|безлічі| з|із| чотирьох елементів, одержимо|отримаємо| кількість підмножин: . Для множини|безлічі| з|із| п'яти елементів: . Узагальнюючи ці результати, приходимо до висновку, що множина|безліч| з|із| n елементів має підмножин.