Предикати
Вживані в математиці вислови|висловлювання| звичайно є описом властивостей яких-небудь математичних об'єктів або описів відносин, що існують|наявний| між цими об'єктами. Для аналізу закономірностей, властивих таким висловам|висловлюванням|, засобів|коштів| алгебри висловів|висловлювань| вже недостатньо. Тому вводиться|запроваджується| поняття предиката.
Індівідна (або наочна|предметна|) змінна є знаком, який позначає|значити| довільний індивід з|із| деякої непорожньої підмножини безлічі всіх індивідів; ця підмножина називається областю зміни даної змінної.
Хай|нехай|
–
індивіди з|із|
наочної|предметної|
області I.
Розглянемо|розгледимо|
який-небудь вислів|висловлювання|
про цих індивідів і позначимо його через
P(
).
Якщо n
=
1, то P(
)
виражає|виказує,висловлює|
властивість індивіда
.
Якщо n
2,
то даний вислів|висловлювання|
описує деяке відношення|ставлення|
між індивідами
(порядок|лад|
проходження|дотримання|
індивідів має значення|).
Візьмемо
наочні|предметні|
змінні
(з|із|
областями зміни
відповідно; тут
– підмножина множини|безлічі|
I
).
Вираз|вираження|
P(
)
– і є предикат.
Тут P
може
позначати|значити|
конкретний предикат (тобто константу)
або змінну-предикат, тобто предикат в
його основному сенсі|змісті,рації|.
Предикат, залежний в точності від n
різних
наочних|предметних|
змінних, називається n-місцевим.
Вислів|висловлювання|
можна розглядати|розглядувати|
як нуль-місцевий|
предикат, тобто як предикат, не залежний
від наочних|предметних|
змінних.
Приклад|зразок| 2.3. « x є парне число» – одномісний предикат; « x є дільник y» – двомісний (бінарний) предикат.
Хай|нехай|
P(
)
– предикат, а
– індивідуальна константа
;
тоді вираз|вираження|
P(
)
– називається елементарною
формулою.
Приклад|зразок|
2.4.
Розглянемо|розгледимо|
бінарні індивідуальні предикати:
,
і
.
Символи „”,
„”і
„=” означають, як завжди, «більше», «є
дільник», «рівно». Вирази
3,75
і
є|з'являються,являються|
елементарними формулами.
З|із| елементарними формулами можна оперувати так само, як і з пропозиціональними|із|| змінними: до ним застосовні всі операції алгебри висловів|висловлювань|. За допомогою логічних зв'язок|в'язок| з|із| елементарних формул будуються нові, предикативні формули. Самі елементарні формули теж|також| вважаються|лічаться| предикативними.
Приклад|зразок|
2.5.
і
– предикативні формули. Їх можна
«прочитати» таким чином: першу –
«невірно, що 7 – дільник 5 і x
більше
3», другу – «3 не ділить 9 або x
не
рівно».
Використання
тільки|лише|
елементарних формул і операцій алгебри
висловів|висловлювань|
не дає можливість|спроможність|
подолати|здолати|
труднощі, що виникають, наприклад, при
спробі сформувати на формальній
логіко-математичній мові|язиці|
наступну|слідуючу|
теорему: «рівняння x+3=8
має цілочисельне
рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|».
У зв'язку з цим в розгляд
вводяться|запроваджуються|
квантори.
Використовують два квантори: спільності
(позначення:
;
читається: «для всіх...») і існування
(позначення:
;
читається: «існує...»).
Таким чином, предикативні формули будуються з|із| елементарних формул за допомогою логічних зв'язок|в'язок| і кванторів загальності і існування. Застосування|вживання| кванторів для побудови|шикування| формул здійснюється по наступній|такій| схемі. Хай|нехай| Н – предикативна формула і x – наочна|предметна| змінна, яка може і не входить у формулу Н. Тоді вирази|вираження| ( xH) і ( xH) вважаються|лічаться| предикативними формулами (в цьому випадку говорять, що Н є область дії відповідного квантора x або x).
Приписування спереду до предикативної формули якого-небудь квантора називається операцією навішування квантора (або скріплення|зв'язування| квантором). Конкретне входження змінної x у формулу Н називається зв'язаним, якщо воно або безпосередньо слідує|прямує| за яким-небудь|будь-яким| квантором, або міститься|утримується| у області дії деякого квантора x або x. Якщо входження змінної у формулу не є|з'являється,являється| зв'язаним, то воно називається вільним. Змінна, що входить у формулу Н, називається зв'язаною (вільною), якщо в Н є|наявний| зв'язане (вільне) входження цієї змінної. Таким чином, змінна може бути одночасно і вільної і зв'язаної (у даній формулі).
Приклад|зразок|
2.6.
Хай|нехай|
Z
–
безліч цілих чисел. У предикативній
формулі
змінна x
є|з'являється,являється|
і зв'язаною (три її входження в перший
член кон'юнкції – зв'язані), і вільною
(входження x
у
формулу x
5 – вільне). Областю дії квантора x
є|з'являється,являється|
формула
У формулі
,
що є дійсним висловом|висловлюванням|,
всі три входження змінної x
–
зв'язані.