2. Сума чисел Фібоначчі

Визначимо суму перших n чисел Фібоначчі.

0 = 0

0+1 = 1

0+1+1 = 2

0+1+1+2 = 4

0+1+1+2+3 = 7

0+1+1+2+3+5 = 12

0+1+1+2+3+5+8 = 20

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко відмітити|помітити|, що збільшенням до правої частини|частки| кожного рівняння одиниці ми знову одержуємо|отримуємо| число Фібоначчі. Загальна|спільна| формула для визначення суми перших n чисел Фібоначчі має вигляд|вид|:

.

Доведемо це, використовуючи метод математичної індукції. Для цього запишемо:

.

Ця сума повинна бути рівна .

.

Скоротивши ліву і праву частину|частку| рівняння на –1, одержимо|отримаємо| рівняння (6.1).

3. Формула для чисел Фібоначчі

Теорема 6.1. Числа Фібоначчі можна розрахувати по формулі

.

Доказ. Переконаємося в справедливості цієї формули для n = 0, 1, а потім доведемо справедливість даної формули для довільного n по індукції. Обчислимо|обчислятимемо,вичислимо| відношення|ставлення| двох найближчих чисел Фібоначчі:

Ми бачимо, що відношення|ставлення| цих чисел коливається|вагається| біля|близько| значення 1.618 (якщо ігнорувати декілька перших значень). Цією властивістю числа Фібоначчі нагадують члени геометричної прогресії. Приймемо ( ). Тоді вираз|вираження|

перетвориться в

,

який після|потім| спрощень виглядає так

.

Ми одержали|отримали| квадратне рівняння, коріння якого рівне:

Тепер можемо записати:

(де с|із| є|з'являється,являється| константою). Обидва члени і не дають чисел Фібоначчі, наприклад , тоді як . Проте|однак| різниця задовольняє рекурентному рівнянню:

.

Для n=0 ця різниця дає , тобто|цебто|: . Проте|однак| при n=1 ми маємо . Щоб одержати |отримати|, необхідно прийняти: .

Тепер ми маємо дві послідовності: і , які починаються з однакових двох чисел і задовольняють одній і тій же рекурентній формулі. Вони повинні бути рівні: . Теорема доведена.

При зростанні n член стає дуже великим, тоді як , і роль члена в різниці скорочується. Тому при великих n приблизно можемо записати

.

Ми ігноруємо 1/2 (оскільки числа Фібоначчі зростають до безкінечності при зростанні|зрості| n до безкінечності).

Відношення|ставлення| називається золотим перетином, його використовують за межами математики (наприклад, в архітектурі). Золотим перетином є|з'являється,являється| відношення|ставлення| між діагоналлю і стороною правильного п'ятикутника.

4. Прості числа

Всі натуральні числа, великі одиниці, розпадаються на два класи. До першого відносяться числа, що мають рівно два натуральних дільника, одиницю і самого себе, до другого – всі інші. Числа першого класу називають простими, а другого – складними|складовими|. Прості числа в межах перших трьох десятків: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .

Властивості простих чисел і їх зв'язок зо|із| всіма натуральними числами вивчалася Евклідом (3 вік|повік| до нашої ери). Якщо виписувати прості числа підряд, то можна відмітити|помітити|, що відносна щільність їх убуває. На перший десяток їх доводиться|припадає,приходиться| 4, тобто 40%, на сотню – 25, тобто 25%, на тисячу – 168, тобто менше 17%, на мільйон – 78498, тобто менше 8%, і т.д.. Проте|тим не менше|, їх загальне|спільне| число нескінченно.

Серед простих чисел попадаються|трапляються| пари таких, різниця між якими рівна двом (так звані прості близнята), проте|однак| кінцівка|скінченність| або нескінченність таких пар не доведена.

Евклід вважав|лічив| очевидним, що за допомогою множення тільки|лише| простих чисел можна одержати|отримати| всі натуральні числа, причому кожне натуральне число уявно у вигляді твору|добутку| простих чисел єдиним чином (з точністю до|із точністю до| порядку|ладу| множників). Таким чином, прості числа утворюють мультиплікативний базис натурального ряду|лави,низки|.

Вивчення розподілу простих чисел привело до створення|створіння| алгоритму, що дозволяє одержувати|отримувати| таблиці простих чисел. Таким алгоритмом є|з'являється,являється| решето Ератосфену (3 вік|повік| до нашої ери). Цей метод полягає у відсіюванні (наприклад, шляхом закреслення) тих цілих чисел заданої послідовності, які діляться хоч би на одне з простих чисел, менших .

Теорема 6.2. (теорема Евкліда). Число простих чисел нескінченно.

Доказ. Теорему Евкліда про нескінченність числа простих чисел доведемо способом, запропонованим Леонардом Ейлером| (1707–1783). Ейлер розглянув|розгледів| добич|добуток| по всіх простих числах p:

при . Ця добич|добуток| сходиться, і якщо її розкрити, то через однозначність розкладання натуральних чисел на прості співмножники виходить, що воно дорівнює сумі ряду |лави,низки|, звідки слідує|прямує| тотожність Ейлера:

.

Оскільки|тому що| при ряд|лава,низка| справа розходиться (гармонійний ряд|лава,низка|), то з|із| тотожності Ейлера виходить теорема Евкліда.

Російський математик П.Л. Чебишев (1821–1894) вивів формулу, що визначає межі, в яких поміщено|ув'язнено| число простих чисел , що не перевершують X:

,

де .