Розміщення без повторень
Загальне|спільне|
число розміщень без повторень з|із|
n
елементів
по
елементів позначається|значиться|
так:
.
Теорема 5.1.
. (5.1)
Доказ. Завдання|задача| зводиться до заповнення порожніх|пустих| місць символами елементів (мал. 5.1).
Мал. 5.1
Перше
місце можна заповнити n
різними
способами, оскільки є|наявний|
n
елементів,
і повторення не допускаються. Друге
місце n
–
1 способом, оскільки один елемент вже
задіяний. Третє місце n
–
2 способами, оскільки два елементи вже
задіяні і т.д. Останнє
-те|
місце можна заповнити
різними
способами. Загальна|спільна|
кількість розміщень буде рівна
добичі|добутку|
способів заповнення кожного з
порожніх|пустих|
місць.
Слідство|наслідок|.
При n
=
Розміщення
(при n
=
)
називається перестановкою.
Приклад|зразок| 5.2. Якщо дано множину|безліч|, що складається з трьох елементів: а, b і с|із|, та кількість розміщень по два елементи рівна, що відповідає результату, приведеному в прикладі|зразку| 5.1.
Поєднання без повторень
Число
різних поєднань без повторень звичайно
позначається|значиться|
так:
.
Теорема
5.2. 
(5.2)
Доказ.
Очевидно, що,
оскільки одному поєднанню елементів
відповідає декілька розміщень, а саме:
.
З урахуванням|з врахуванням| формули (5.1) формулу (5.2) можна записати так:
. (5.3)
Таким чином, поєднання без повторень і біноміальні коефіцієнти є|з'являються,являються| рівнозначними поняттями.
Приклад|зразок|
5.3.
Якщо дано множину|безліч|,
що складається з трьох елементів: а,
b
і
с|із|,
та кількість поєднань по два елементи
рівна:
.
Це відповідає результату, приведеному
в прикладі|зразку|
5.1.
Розміщення з|із| повторенням
Якщо ми вибираємо з|із| безлічі n елементів розміщення з|із| повтореннями елементів, то в даному випадку може перевершувати n.
Теорема
5.3.
Загальне|спільне|
число розміщень з|із|
повтореннями
елементів,
узятих з|із|
сукупності n
різних
елементів, рівно
.
Доказ. Завдання|задача| зводиться до заповнення порожніх|пустих| місць символами n елементів. Кожне місце можна заповнити n різними способами, оскільки повторення допускаються. Загальна|спільна| кількість розміщень буде рівна твору|добутку| способів заповнення кожного з порожніх|пустих| місць, тобто|цебто|: .
Приклад|зразок|
5.4.
Максимальне число знаків, які можуть
бути представлені|уявлені|
з|із|
допомогою
двійкових
символів (
біт), рівно числу розміщень з|із|
повторенням з|із|
множини|безлічі|,
що містить|утримує|
всього два елементи 0 або 1. Наприклад,
якщо k=8
(один байт), то
=256.
Поєднання з|із| повторенням
Теорема 5.4. Загальне|спільне| число поєднань з|із| повтореннями елементів, узятих з|із| сукупності n різних елементів, рівно
. (5.4)
Доказ. Зведемо завдання|задачу| до випадку поєднань без повторень. Для цього кожен елемент, що повторюється, умовно вважатимемо|лічитимемо| новим елементом, який додається до початкової|вихідної| множини|безлічі| з|із| n елементів. Серед елементів в поєднанні хоч би один обов'язково повинен належати початковій|вихідній| множині|безлічі| з|із| n елементів. Інакше, ми змогли б побудувати|спорудити| поєднання, що не включає жодного елементу з|із| початкової|вихідної| безлічі n елементів. А це суперечить|перечить| умові завдання|задачі|.
Тому
кількість доданих|добавлених|
елементів не може бути рівна (або
перевершувати це число). Проте|однак|
легко побудувати|спорудити|
поєднання, в якому буде
(і менше) елементів, що повторюються|значить|.
Приклад|зразок| 5.5. Знайти число поєднань з|із| 5 різних елементів по 3.
Якщо повторення елементів не дозволене:
.Якщо повторення елементів дозволене:
.