Гамма-функція
Біноміальна теорема визначає біноміальні коефіцієнти через факторіали чисел n і k:
.
По
суті, факторіал
є|з'являється,являється|
функцією аргументу n.
Проте|однак|
це дискретна (гратчаста) функція,
визначена тільки|лише|
при цілих значеннях аргументу n
= 1, 2, ... Тому формула (4.2) придатна
тільки|лише|
для цілих n.
Виникає
питання: чи існує безперервна функція
безперервного аргументу, яка в окремих
випадках цілого аргументу
= n
дорівнювала|рівнялася|
б
?
На це питання існує позитивна відповідь.
Така функція існує і називається вона
гамма-функцією (Г-функцією). Ця функція
володіє властивістю:
.
Її графік приведений на мал. 4.3.
Мал. 4.3. Графік гамма-функції
Гамма-функція визначається за допомогою інтеграла Ейлера:
,
де > 0.
При 0 інтеграл розходиться. У цьому інтервалі за допомогою інтеграла Ейлера гамма-функція не може бути визначена. При = 1 маємо:
.
Прийнявши в інтегралі Ейлера x = t2, одержимо|отримаємо|
.
Прирівнявши = 1/2, маємо
.
Застосуємо
до інтеграла Ейлера формулу інтегрування
по частинах|частках|:
,
вважаючи|гадаючи|
;
;
;
.
.
Це основна формула приведення для Г-функції. З|із| неї виходить, що
.
Застосував цю формулу послідовно k разів, одержимо:
, (
– k
> 0).
У математичних| довідниках значення гамма-функції звичайно даються лише для величин v, лежачих в діапазоні 1 < < 2. щоб знайти значення Г-функції в іншому діапазоні, потрібно використовувати приведену формулу. Для знаходження Г() при > 2 ми повинні вибирати ціле k > 0 так, щоб|так , щоб,таким образом | виконувалося умови: 1 – k < 2.
Якщо = n, де n > 0 – ціле число, то
Г (n) = (n – 1)!
Застосувавши формулу приведення для = n + 1/2 і враховуючи, що, одержимо|отримаємо|
,
де (2n –
1)!! =
.
Дотепер|до цих пір| ми вважали|лічили|, що аргумент функції Г() більше нуля. Довизначимо тепер функцію гамма для негативних|заперечних| значень аргументу. Враховуючи формулу приведення, запишемо:
.
Покладемо
= *,
тоді
.
Позначивши в останній формулі * знову через, одержимо|отримаємо|
.
Якщо
+ до
>
0 і
.
(
=
1, 2, 3...), то права частина|частка|
формули має сенс і при
<
0.
Останню формулу приймають за визначення
гамма-функції при негативних|заперечних|
значеннях аргументу .
Очевидно, вона не існують при цілих
негативних|заперечних|
значеннях
(при таких значеннях
вона звертається|обертається|
в нескінченність).
Тепер ми можемо узагальнити біноміальну теорему на випадок дійсних (і навіть комплексних чисел).
Теорема
4.2.
Хай|нехай|
– довільне комплексне число. Тоді для
будь-якого комплексного числа, що
задовольняє умові, справедливо
(4.3)
де
.
Приклад|зразок| 4.1. Приведемо приклади|зразки| деяких біноміальних розкладань, одержаних за допомогою формули (4.3):
Лекція № 5. Комбінаторика
Вступ|вступ|
У багатьох практичних випадках виникає необхідність підрахувати|підсумувати| кількість можливих комбінацій об'єктів, що задовольняють певним умовам. Такі завдання|задачі| називаються комбінаторними. Розділ математики, який їх вивчає, називається комбінаторикою.
Одними з найбільш важливих|поважних| понять комбінаторики є|з'являються,являються| розміщення і поєднання.
Спосіб розташування в певному порядку|ладі| деякого числа елементів із|із| заданої множини|безлічі|, коли істотна|суттєва| послідовність вибору елементів, називається розміщенням. Якщо ж послідовність вибору елементів неістотна|несуттєва|, то спосіб вибору називається поєднанням.
Приклад|зразок| 5.1. Дано безліч S, що складається з трьох елементів: а, b, с. Необхідно визначити кількість комбінацій по два елементи з|із| представлених|уявлених| трьох.
Повторення елементів не допускається:
а) існує 6 розміщень (ab, ас, ba, bc, ca, cb);
б) існує 3 поєднання (ab, bc, ca).
2. Повторення елементів вирішується:
а) існує 9 розміщень (ab, aa, ас, ba, bb, bc, ca, cb, cc);
б) існує 6 поєднань (aa, ab, ас, bb, bc, cc).