Лекція № 1. Дискретне і безперервне

1. Вступ|вступ|

Дискретна математика – це математика, не пов'язана з поняттями нескінченності, межі і безперервності. Термін «дискретна математика» еквівалентний терміну «кінцева|скінченна| математика». Дискретна математика має широкий спектр використовування|застосувань|, перш за все|передусім| в областях, пов'язаних з інформаційними технологіями і комп'ютерами. Коли говорять «цифрова обчислювальна машина», те слово «цифрова» указує|вказує| на принципово дискретний характер|вдачу| роботи даного пристрою|устрою|.

Хоча відмінність між дискретним і безперервним інтуїтивно зрозуміло, все-таки воно достатньо|досить| тонко. Щоб правильно зрозуміти його сенс|зміст,рацію| і уникнути непорозумінь|нерозумінь|, необхідно ознайомитися з|із| основами теорії множин|безлічі|.

2. Рахункові і незліченні числові множини|безліч|

Теорія множин|безлічі| з'явилася|появилася| в кінці 19 століття завдяки роботам німецького математика Георга Кантора (1845-1918). Поняття множини|безлічі| належить до фундаментальних невизначуваних понять математики. Можна сказати, що множина|безліч| – це будь-яка сукупність об'єктів. Приклади|зразки| множин|безлічі|: безліч будинків|домів,хат| в місті, безліч його жителів|мешканців|, безліч зірок на небі|піднебінні| і т.д.

Серед інших множин|безлічі| особливе положення|становище| займають|позичають,посідають| так звані числові множини|безліч|. Перша числова множина|безліч|, яка відкрилася|відчинилася| людській свідомості, була безліч натуральних чисел (позначається|значиться| буквою|літерою| N): 1, 2, 3, … Ідею їх існування підказувала сама природа (Nature). «Три дерева, три апельсина, три людини» – натуральне число «три» якось зв'язували ці різні об'єкти, додавали|наділяли,надавали| їм якусь|деяку| спільність.

Але|та| навіть прості натуральні числа мали якусь таємницю. Ця множина|безліч| мала початок (число 1), проте|однак| не мало кінця. Яким би великим не було б натуральне число, можна було б одержати|отримати| ще більше, додавши до нього одиницю. Таким чином, безліч натуральних чисел – нескінченна|безконечна| множина|безліч|.

Існують рахункові і незліченні числові множини|безліч|. Очевидно, що множина|безліч|, складена з|із| кінцевого|скінченного| числа натуральних чисел, буде рахунковою. Проте|однак| бувають і нескінченні|безконечні| рахункові множини|безліч|. Якщо елементам нескінченної|безконечної| множини|безлічі| можна поставити у взаємно однозначну відповідність числа натурального ряду|лави,низки|, то така множина|безліч| називається рахунковою.

Наприклад, безліч парних чисел рахункова. Числу 2 можна поставити у відповідність число 1, числу 4 – 2, числу 6 – 3 і т.д. Цей процес можна продовжувати до безкінечності.

Очевидно, що рахункова і безліч натуральних чисел, кратних трьом (або чотирьом, або п'яти.). Нескінченні|безконечні| множини|безліч|, що задовольняють умові взаємно однозначної відповідності, називаються рівнопотужними.

Таким чином, безліч парних чисел і натуральних чисел рівнопотужні|, хоча інтуїція начебто|неначебто,неначе| підказує, що перша множина|безліч| «менша» за другу. Одна з основних новаторський ідей Кантора полягає в тому, що співвідношення, справедливі для кінцевих|скінченних| множин|безлічі|, не застосовні до нескінченних|безконечних|.

Стародавні|древні| індуси «винайшли» число нуль, а також негативні|заперечні| цілі числа. Разом з натуральними числами ці числа складають безліч цілих чисел (позначається|значиться| латинською буквою|літерою| Z). Натуральні числа і нуль утворюють безліч цілих ненегативних чисел (позначається|значиться| ).

Ці множини|безліч| також є|з'являються,являються| рахунковими, оскільки|тому що| можна встановити взаємно однозначну відповідність між ними і безліччю натуральних чисел, як показано табл. 1.1.

Таблиця 1.1

N	7	5	3	1	2	4	6
Z	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3

Продовжуючи освоювати нові абстрактні поняття, люди ввели|запровадили| в ужиток|побут| дробові числа, які одержують|отримують| шляхом ділення|поділки,розподілу,поділу| одного цілого числа на інше. Такі числа називаються раціональними, оскільки метод їх отримання|здобуття| цілком|сповна| доступний розумінню (безліч раціональних чисел позначається|значиться| буквою|літерою| Q).

Кантор відкрив|відчинив|, що безліч раціональних чисел також рахункова, хоча усюди|всюди| щільно на числовій осі на відміну від безлічі натуральних чисел.

Таблиця 1.2

1	2	3	4	5	6	7	.
1/2	2/2	3/2	4/2	5/2	6/2	7/2	.
1/3	2/3	3/3	4/3	5/3	6/3	7/3	.
1/4	2/4	3/4	4/4	5/4	6/4	7/4	.
1/5	2/5	3/5	4/5	5/5	6/5	7/5	.
1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6	7/6	.
1/7	2/7	3/7	4/7	5/7	6/7	7/7	.
.	.	.	.	.	.	.	.

Всі раціональні числа можна внести в таблицю з|із| нескінченною|безконечною| кількістю рядків і стовпців (табл. 1.2). Якщо рухатися|сунутися| з|із| лівого верхнього кута|рогу,кутка| по зигзагоподібній траєкторії, нумеруючи по шляху осередку|чарунки,вічка,комірки| числами натурального ряду|лави,низки|, то можна показати взаємно однозначну відповідність між безліччю натуральних і раціональних чисел.

Оскільки раціональні числа щільно заповнюють всю числову вісь, довгий час вважалося|лічилося|, що вони задовольняють всі практичні потреби|нужду| людини і необхідності у введенні|вступі| яких-небудь нових числових множин|безлічі| не існує. Проте|однак| ще старогрецьким|давньогрецьким| математикам вдалося довести існування так званих ірраціональних чисел, які не можуть бути виражені|виказані,висловлені| у вигляді цілочисельного дробу (несумірні співвідношення).

Відкриття|відчинення| ірраціональних чисел легенда приписує Гиппазію з|із| Метапонта (V вік|повіки| до нашої ери), що входив до кола |коло|піфагорійців – поклонників|прихильників,залицяльників| учення|навчання,вчення| Піфагора. За переказами в той момент, коли|у той момент , коли,в тот момент | Гиппазій дійшов цього відкриття|відчинення|, піфагорійці знаходилися|перебували| у відкритому морі – і вони викинули Гиппазія за борт, звинувативши його в тому, що він привніс у всесвіт|світобудову| елемент, що суперечив|перечив| піфагорійському вченню про те, що всі явища природи можливо звести до цілих чисел або до їх відносин.

Доказ того, що число несумірно з|із| одиницею, тобто ірраціонально, грецькі математики довели методом від осоружного|противного,супротивного|.

Приведемо цей доказ. Позначимо: . Якби було сумірно з|із| одиницею, то можна було б знайти такі два цілі числа і , що , і тоді ми дійшли б рівності

. (1.1)

Вважаємо|лічимо|, що дріб несумірна|, інакше ми із самого початку|з самого початку| скоротили б її на загального|спільного| найбільшого дільника чисел і . З правого боку є|наявний| 2 як множник, і тому є парне число, і|значить| саме також парне, оскільки|тому що| квадрат непарного числа є непарне число. У такому разі|в такому разі| можна покласти . Тоді рівність (1.1) приймає вигляд|вид|: , або . Оскільки|тому що| з лівого боку тепер є|наявний| 2 як множник, це означає|значить| що і – також парне. Отже, і і – парні числа, тобто діляться на два, а це суперечить|перечить| допущенню, що дріб несумірна|.

Отже, рівність (1.1) неможлива, і не може бути раціональним числом.

Ірраціональними числами є|з'являються,являються| також число =3,14 – відношення|ставлення| довжини кола до її діаметру і неперово| число e=2,71 – підстава|основа,заснування| натуральних алгоритмів. Ірраціональні числа можуть бути представлені|уявлені| нескінченними|безконечними| неперіодичними дробами.

і e – це «зірки», одні з найзнаменитіших чисел на світі. Ординарних, нічим не примітних ірраціональних чисел значно більше. Їх загальна|спільна| кількість в нескінченну|безконечну| кількість раз перевищує рахункову кількість раціональних чисел.

Безліч всіх раціональних і ірраціональних чисел складає безліч дійсних чисел (позначається|значиться| буквою|літерою| R). Кантор довів, що безліч всіх дійсних чисел незліченна. Іншими словами, сукупність всіх дійсних чисел абсолютно іншого типу нескінченності, чим сукупність одних тільки|лише| цілих або одних тільки|лише| раціональних чисел.

Доведемо це фактично. Допустимо, що всі дійсні числа, представлені|уявлені| у вигляді нескінченних|безконечних| десяткових дробів, розташовані|схильні| у порядку|ладі| послідовності, або списку:

1-е число:

2-е число:

3-е число:

...........................................

де букви|літери| позначає|значить| цілу частину|частку|, а букви|літери| є десятковими знаками, що стоять вправо від коми. Ми допускаємо, що ця послідовність дробів охоплює всі дійсні числа. Істотною|суттєвою| частиною|часткою| доказу є|з'являється,являється| побудова|шикування| за допомогою «діагональної процедури» такого нового числа, щодо|відносно| якого можна показати, що воно не входить в наш список.

Побудуємо|спорудимо| таке число. Для цього візьмемо першу цифру після|потім| коми , яку завгодно|бажано|, але|та| відмінну від |іншу|, а також від 0 і 9 (останнє – щоб уникнути утруднень|скрути|, що виникають з|із| рівності типу|начеб,немов,немовби| наступного|слідуючого|: 0,999= 1,000); потім другу цифру візьмемо відмінною від |іншою|, а також від 0 і 9; третю цифру – відмінною|іншої| від і т.д.

Для більшої визначеності можна умовитися в наступному|слідуючому|: ми беремо , якщо тільки |лише|, а у випадку візьмемо ; і аналогічно для всіх інших цифр Тепер розглянемо|розгледимо| число

Це нове число напевно|обов'язково| не входить в наш список; дійсно, воно не рівне першому числу, що стоїть в списку, оскільки|тому що| від нього відрізняється першою цифрою після|потім| коми, воно не рівне другому числу, оскільки|тому що| від нього відрізняється другою цифрою після|потім| коми, і взагалі відмінно|чудово| від -го числа за списком, оскільки|тому що| від нього відрізняється -ою цифрою після|потім| коми. Отже, в нашому списку, складеному ніби то зі|із| всіх дійсних чисел, немає числа . Це означає|значить|, що безліч всіх дійсних чисел незліченна.

Пізніше за всіх інших була відкрита|відчинена| безліч комплексних чисел, яка позначається|значиться| буквою|літерою| C. Комплексне число записується|занотовується| таким чином: , де і – дійсні числа, – уявна одиниця. Безліч комплексних чисел рівнопотужна безлічі дійсних чисел.

Отже, існує, щонайменше, два різних «типу нескінченності»: рахункова нескінченність натуральних чисел і незліченна нескінченність континууму (від латинського continuum – «безперервне») дійсних (і комплексних) чисел. Дискретна математика має справу|річ| з|із| рахунковими множинами|безліччю|. Більш того|більше того|, вона, як правило, має справу|річ| з|із| кінцевими|скінченними| рахунковими множинами|безліччю|.