4. Компоненти сильної зв'язності графа

Поняття сильної зв'язності відноситься тільки|лише| до орграфів|.

Підстава|основа,заснування| орграфа| – неограф| з|із| тими ж вершинами, але|та| ребрами замість відповідних дуг.

Орграф називається зв'язковим, якщо зв'язна його підстава|основа,заснування|.

Вершина u досяжна з|із| вершини v, якщо існує маршрут з|із| v в u.

Орграф називається сильно зв'язковим, якщо будь-яка його вершина досяжна з|із| будь-якої вершини.

Граф називається таким, що орієнтується, якщо він є|з'являється,являється| підставою|основою,заснуванням| сильно зв'язного графа.

Приклад|зразок| 13.3. Знайти компоненти сильної зв'язності графа, зображеного|змальованого| на мал. 13.3.

Мал. 13.3

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Матриця суміжності графа має вигляд|вид|

.

У графі 7 дуг, тому найбільший шлях|колія,дорога| буде не довший за семи. Побудуємо|спорудимо| матрицю досяжності:

.

Виділимо з|із| цієї матриці головний мінор максимального порядку|ладу|, що не містить|утримує| нулі. Якщо граф зв'язний, то в матриці будуть рядки, що не містять|утримують| нулів. Це рядки 2, 4, 6:

.

Мінор з|із| рядками і стовпцями з|із| цими номерами відповідає одній компоненті зв'язності:

.

Видалимо|знищимо,віддалимо| з|із| матриці рядки і стовпці з|із| цими номерами, Одержимо|отримаємо| мінор, відповідний другий компоненті зв'язності:

.

Отже, в графі дві компоненти сильної зв'язності: підграф з|із| вершинами 1, 3, 5 і підграф з|із| вершинами 2, 4, 6.

Мал. 13.4

На мал. 13.4 (а, би) показані обидві компоненти сильної зв'язності у вигляді окремих графів. Загальне|спільне| число ребер в компонентах менше розміру початкового|вихідного| графа. Дуга [2, 3] не увійшла ні до однієї компоненти.

Лекція № 14. Дерева

1. Основні визначення

Дерево – зв'язний граф без циклів. Ліс (або ациклічний граф) – неограф| без циклів. Компонентами лісу є|з'являються,являються| дерева.

Теорема 14.1. Для неографа| G з|із| n вершинами без петель наступні|слідуючі| умови еквівалентні:

1. G – дерево;

2. G – зв'язковий граф, що містить|утримує| n – 1 ребро;

3. G – ациклічний граф, що містить|утримує| n – 1 ребро;

4. Будь-які дві неспівпадаючі вершини графа G сполучає|поєднує,з'єднує| єдиний ланцюг|цеп|;

5. G – ациклічний граф, такий, що якщо в нього додати|добавити| одне ребро, то в ньому з'явиться|появиться| рівно один цикл.

Теорема 14.2. Неограф G є|з'являється,являється| лісом тоді і тільки|лише| тоді, коли коранг| графа v(G)=0.

Висяча вершина в дереві – вершина ступеня|міри| 1. Висячі вершини називаються листям, всі інші – внутрішніми вершинами.

Якщо в дереві особливо виділена одна вершина, звана коренем, то таке дерево називається кореневим, інакше – вільним.

Кореневе дерево можна рахувати орграфом| з|із| орієнтацією дуг з|із| кореня або в корінь. Очевидно, що для будь-якої вершини кореневого дерева, окрім|крім| кореня, . Для кореня: , для листя: .

Вершини дерева, видалені|віддалені| на відстань k (у числі дуг) від кореня, утворюють k -й| ярус (рівень) дерева. Найбільше значення k називається висотою дерева.

Якщо з|із| якої-небудь вершини кореневого дерева виходять дуги, то вершини на кінцях цих дуг називають синами (у англійській літературі – дочки (daughter)).