Ранг-поліном графа
Ранг
графа визначається як
,
де n
– число вершин, k
–
число компонент зв'язності графа. Коранг
графа, або цикломатичний|
ранг, є
,
де m
–
число ребер.
Ранг-поліном графа G має вигляд|вид|
,
де
– ранг графа G,
а
– коранг|
остовного|
(тобто що включає всі вершини графа)
підграфа H,
а
– його ранг. Підсумовування ведеться
по всіх остовным|
підграфах графа G.
Ранг
поліном служить для аналізу безлічі
остових|
підграфів. Так, наприклад, коефіцієнт
при
в
є число підграфів розміру k,
а значення
рівне числу підграфів (включаючи
невласний підграф), ранг яких рівний
рангу самого графа.
Приклад|зразок| 12.8. Знайти ранг-поліном графа, зображеного|змальованого| на мал. 12.8.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Знайдемо всіх 16 остових| підграфів графа G (мал. 12.9). Множину|безліч| представимо|уявимо| у вигляді чотирьох графів розміру 1 (тобто з|із| одним ребром), шести графів розміру 2, чотирьох графів розміру 3 і двох невласних графів (порожній|пустий| граф і граф G).
Мал. 12.9
Враховуючи,
що ранг
графа рівний 3, одержуємо|отримуємо|
суму:
Цикли
Маршрут, в якому почало|розпочало,зачало| і кінець співпадають|збігаються|, – циклічний. Циклічний маршрут називається циклом, якщо він – ланцюг|цеп|.
Остовом|кістяком| графа G називається граф, що не містить|утримує| циклів і що складається з ребер графа G і всіх його вершин. Остов|кістяк| графа визначається неоднозначно.
Ребра графа, що не входять в остов|кістяк|, називаються хордами. Цикл, що виходить при додаванні|добавці| до остову|кістяка| графа його хорди, називається фундаментальним щодо|відносно| цієї хорди.
Теорема 12.11. Число ребер неографа|, які необхідно видалити|знищити,віддалити| для отримання|здобуття| остову|кістяка|, не залежить від послідовності їх видалення|віддалення| і рівно цикломатичному| рангу графа.
Приклад|зразок| 12.8. По заданій матриці суміжності:
,
визначити
число циклів довжини 3 (
)
і довжини 4 (
).
Записати матрицю
фундаментальних циклів.
Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Матриця суміжності даного графа симетрична, тому їй відповідає неорієнтований граф. Сума ненульових елементів матриці рівна 12, отже, по лемі про рукостискання в графі 6 ребер. Побудуємо|спорудимо| цей граф (мал. 12.10). Очевидно, в ньому два цикли (3–4–5 і 1–3–5) завдовжки 3 і один цикл (1–3–4–5) завдовжки 4. У даному завданні|задачі| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| одержане|отримане| прямим підрахунком по зображенню графа. Для складніших випадків існує алгоритм рішення задачі по матриці суміжності.
Відомо, що слід (trace) матриці суміжності, піднесений до k-го| ступеня, рівний числу циклічних маршрутів довжини k (див. теорему 12.4). Це число включає і шукане число циклів. Цикл відрізняється від циклічного маршруту тим, що в ньому не повторюються ребра. Крім того, передбачається|припускається|, що шукані цикли не помічені|позначені|, а в слід матриці входять саме помічені|позначені| маршрути.
Мал. 12.10
Непомічених|позначених| циклів завдовжки 3 в 6 разів менше, ніж помічених|позначених|, оскільки|тому що| кожен помічений|позначений| цикл може відрізнятися початком (а їх в даному випадку три) і двома напрямами|направленнями| обходу (по і проти|супроти| годинникової стрілки). Піднесемо задану матрицю суміжності до третього ступеня:
,
і одержимо|отримаємо|
.
Оскільки циклічних маршрутів завдовжки 3, відмінних|інших| від циклів завдовжки 3, не існує, знайдене число і є відповідь в поставленому завданні|задачі|.
З|із| циклами завдовжки 4 трохи складніше. У слід четвертого ступеня|міри| матриці суміжності графа
,
входять
не тільки|не
лише|
цикли, але і циклічні маршрути з|із|
подвійним і чотирикратним проходженням
ребер. Позначимо кількість таких
маршрутів через
і
відповідно. Очевидно, число маршрутів
з|із|
чотирикратним проходженням одного
ребра для вершини
рівне ступеню|мірі|
цієї вершини:
.
Число маршрутів з|із|
двократним проходженням ребра складається
з|із|
числа
з|із|
висячою вершиною
і числа
маршрутів з|із|
вершиною
в центрі.
Легко
відмітити|помітити|,
що
.
Число
залежить від ступенів|мір|
вершин, сусідніх
:
,
де
– ребро, інцидентне вершинам i
і
k.
Для графа на мал. 12.10 одержимо|отримаємо|
,
,
,
.
З урахуванням того, що непомічених|позначених| циклів завдовжки 4 в 8 разів менше, одержимо|отримаємо|
.
Після|потім| перетворень формула прийме вигляд|вид|
.
Для знаходження матриці фундаментальних циклів пронумеруємо ребра графа, починаючи нумерацію з хорд, як показано на мал. 12.11 (а).
Мал. 12.11
Двом хордам, 1 і 2, відповідають два фундаментальні цикли: 1–4–5 і 2–4–6 (мал. 12.11 (би і в)). Матриця фундаментальних циклів має два рядки (число циклів) і шість стовпців (число ребер).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
У першому рядку матриці одиницями відмічені стовпці з|із| номерами ребер, що входять в перший цикл, а в другому рядку – номери ребер з|із| другого циклу.