5. Розфарбовування графа, хроматичний поліном

Припустимо|передбачимо|, що перед нами стоїть завдання|задача|: розфарбувати карту світу так, щоб кожна країна мала свій власний колір|цвіт|. Оскільки на світі існує декілька сотень держав, то, природно, буде потрібно достатньо|досить| багато різних фарб|барв|.

Спростимо завдання|задачу|. Використовуватимемо меншу кількість фарб|барв|, але|та| при цьому не допускатимемо, щоб сусідні країни, що мають загальні|спільні| межі|кордони|, були забарвлені|пофарбовані| в один колір|цвіт|. Виникає питання: яка мінімальна кількість фарб|барв| потрібна, щоб задовольнити цій умові?

Відповісти на це питання можна за допомогою теорії графів. Для цього потрібно представити|уявити| карту світу у вигляді графа, кожна вершина якого відповідає окремій країні, а ребро між суміжними вершинами відповідає наявності між країнами загальної|спільної| межі|кордону|.

Довільна функція на безлічі вершин графа називається розфарбовуванням графа. Розфарбовування називається правильним, якщо для будь-яких суміжних вершин і . Мінімальне число k, при якому граф G є|з'являється,являється| k- розфарбовуваємим,| називається хроматичним числом графа .

Граф називається порожнім|пустим|, якщо в ньому видалені|віддалені| всі ребра і вершини ізольовані одна від одної. Граф називається повним|цілковитим|, якщо в ньому не можна додати|добавити| нове ребро, не додавши|добавивши| при цьому одночасно нову вершину.

Теорема 12.7 (Брукса). Для будь-якого графа G, що не є|з'являється,являється| повним|цілковитим|, , якщо – максимальна із|із| ступенів|мір| вершин графа.

Для визначення кількості способів розфарбовування графа в x кольорів|цвіту|, необхідно скласти хроматичний поліном P(G, x). Значення полінома при деякому конкретному рівне числу правильних розфарбовувань графа в кольорів|цвіту|.

Існує лема, що затверджує|стверджує,ухвалює|, що хроматичний поліном графа має вигляд|вид|

, (12.4)

де – граф, одержаний|отриманий| з|із| G додаванням|добавкою| ребра (u, v), а граф виходить з|із| G ототожненням вершин u і v.

Інший варіант леми:

, (12.5)

де – граф, одержаний|отриманий| з|із| G видаленням|віддаленням| ребра (u, v), а граф виходить з|із| G ототожненням вершин u і v.

Операцію ототожнення вершин u і v називають також стяганням ребра (u, v).

Обидва варіанти леми складають основу для хроматичної редукції графа (reduction – «скорочення» на англійському). Хроматична редукція графа – представлення графа у вигляді декількох порожніх|пустих| або повних|цілковитих| графів, сума хроматичних поліномів яких рівна хроматичному поліному графа. Очевидно, що хроматичний поліном порожнього|пустого| графа рівний (кожна вершина може бути розфарбована незалежно від інших), а для повного|цілковитого| графа . Останній вираз|вираження| називають факторіальним ступенем|мірою| змінної x: .

Розкладання по порожніх|пустих| і повних|цілковитих| графах зв'язані. Факторіальний ступінь|міру| можна представити|уявити| у вигляді полінома:

, (12.6)

де – числа Стірлінга першого роду. І навпаки, ступінь|міру| можна виразити|виказати,висловити| через факторіальні ступені|міри|:

, (12.7)

де – числа Стірлінга другого роду, що володіють наступними|слідуючими| властивостями:

при , (12.8)

при , при .

При отриманні|здобутті| хроматичного полінома можуть бути корисні наступні|такі| теореми.

Теорема 12.8. Коефіцієнти хроматичного полінома складають знакозмінну послідовність.

Теорема 12.9. Абсолютна величина другого коефіцієнта хроматичного полінома рівна числу ребер графа.

Теорема 12.10. Найменше число i, для якого відмінний|інший| від нуля коефіцієнт при в хроматичному поліномі графа G, рівне числу компонент зв'язності графа G.

Окрім|крім| вершинного розфарбовування, існує ще реброве розфарбовування і розфарбовування граней.

Приклад|зразок| 12.7. Знайти хроматичний поліном графа, показаного на мал. 12.8.

Мал. 12.8

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Залежно від числа ребер графа можна використовувати розкладання (12.4) або (12.5). Якщо граф майже повний|цілковитий|, то, додавши|добавивши| декілька ребер по розкладанню (12.4), одержимо|отримаємо| хроматичний поліном у вигляді суми факторіальних ступенів|мір|. Якщо ж ребер мало і для отримання|здобуття| порожнього|пустого| графа потрібно видалити|знищити,віддалити| тільки|лише| декілька ребер, то слід використовувати розкладання (12.5) з|із| видаленням|віддаленням| ребер. Такі дії називаються хроматичною редукцією.

1. Хроматична редукція по порожніх|пустих| графах. Скористаємося спочатку лемою (12.5). Видаляючи|знищуючи,віддаляючи| ребра і ототожнюючи відповідні вершини (стягуючи ребра), зведемо початковий|вихідний| граф до порожніх|пустих| граф. Спочатку розкладемо граф на два, прибравши, а потім стягнув| ребро 1-3. Виконану дію запишемо у вигляді умовної рівності:

Тут операція віднімання відноситься не до самого графа, а до його хроматичного полінома. Таким чином, остання рівність означає, що . Для скорочення запису позначення P(...) опускатимемо. Далі розкладемо кожного з графів і , користуючись тією ж лемою.

Приведемо подібні члени:

(12.9)

У результаті одержимо|отримаємо| шуканий хроматичний поліном:

. (12.10)

Розкладання (12.9) називається хроматичною редукцією графа по порожніх|пустих| графах.

Очевидно, що результат відповідає затвердженням теорем 12.8-12.10. Коефіцієнти в (12.10) утворюють знакозмінну послідовність, а коефіцієнт при рівний чотирьом – числу ребер. Найменший ступінь|міра| x в поліномі рівний 1, тобто числу компонент зв'язності графа.

2. Хроматична редукція по повних|цілковитих| графах. Додавши|добавивши| до зображеного|змальованого| на мал. 12.8 графа ребро 1–4, одержимо|отримаємо| граф з|із| великим числом ребер. Потім в початковому|вихідному| графі ототожнимо вершини 1 і 4. В результаті одержимо|отримаємо| двох графів.

Ототожнення вершин приводить|призводить,наводить| до зменшення порядку|ладу| і іноді|інколи| розміру графа. Другий граф – це повний|цілковитий| граф, його перетворювати більше не потрібно. До першого графа додамо|добавимо| ребро 1–2 і ототожнимо вершини 1 і 2:

У результаті одержимо|отримаємо|

(12.11)

Хроматичний поліном прийме вигляд|вид|

(12.12)

Розкладання (12.11) називається хроматичною редукцією графа по повних|цілковитих| графах.

Обидва способи дали один результат, і з|із| редукції по повних|цілковитих| графах легко одержати|отримати| редукцію по порожніх|пустих|. Для цього досить розкрити дужки і привести подібні члени, як в (12.12). Проте|однак| зворотна дія не очевидна. Для того, щоб поліном, одержаний|отриманий| з|із| порожніх|пустих| графів, виразити|виказати,висловити| у вигляді суми факторіальних ступенів|мір|, необхідні числа Стірлінга 2-го роду. Згідно рекурентним формулам (12.8) маємо наступні|слідуючі| числа:

,

,

,

.

Користуючись (12.7) і знайденими числами Стірлінга 2-го роду, одержимо|отримаємо|

,

,

.

Проведемо|виробимо,справимо| перетворення хроматичного полінома:

Хроматичне число графа краще всього одержати|отримати|, розклавши хроматичний поліном на множники:

.

Мінімальне натуральне число x, при якому не звертається|обертається| в нуль, рівне 3. Звідси слідує|прямує| . Оскільки|тому що| максимальний ступінь|міра| вершин графа, виконується оцінка .