Ейлерів| ланцюг|цеп|
Маршрут в неографе|, в якому всі ребра різні, називається ланцюгом|цепом|. Ланцюг|цеп| в графі називається ейлеревим|, якщо він містить|утримує| всі ребра і всі вершини графа.
Мал. 12.4. Схема Кенігсбергськіх мостів
Теорія графів багато разів переоткрывалась різними авторами при рішенні різних прикладних задач. У їх ряду|лаві,низці| – знаменитий математик Леонард Ейлер| (1707-1783). До створення|створіння| теорії графів його підштовхнуло завдання|задача| про Кенігсберські мости, яке він вирішив|розв'язав| в 1736 році. По умові завдання|задачі| потрібно було пройти|минути,спливти| по всіх семи мостах міста Кенігсберга через річку|ріку| Преголь по одному разу і повернутися до початкової точки. На мал. 12.4 показана схема цих мостів (один з них сполучає|поєднує,з'єднує| між собою два острови, а інші – острови з|із| берегами). Цій схемі відповідає приведений на наступному|такому| малюнку мультиграф з|із| чотирма вершинами.
Мал. 12.5
Ейлер вирішив|розв'язав| завдання|задачу| про Кенігсбергські мости в негативному|заперечному| сенсі|змісті,рації|. Він довів, що дане завдання|задача| не має рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Для цього йому довелося|припало| довести наступну|таку| теорему.
Теорема 12.5 (Ейлера). Мультиграф володіє ейлеревим| ланцюгом|цепом| тоді і тільки|лише| тоді, коли він зв'язний і число вершин непарного ступеня|міри| рівне 0 або 2.
Вершини непарного ступеня|міри| в цій теоремі, очевидно, є|з'являються,являються| початком і кінцем ланцюга|цепу|. Якщо таких вершин немає, то ейлеревий| ланцюг|цеп| стає ейлеревим| циклом. Граф, що володіє ейлеревим| циклом, називається ейлеревим|. Якщо граф має ейлеревий| ланцюг|цеп|, але|та| не володіє ейлеревим| циклом (число вершин непарного ступеня|міри| рівне 2), то він називається полуейлеревим| графом.
Припустимо|передбачимо|, що граф має ейлерів| цикл. Рухаючись|сунучись| по ньому, підраховуватимемо|підсумовуватимемо| ступені|міри| вершин, вважаючи|гадаючи| їх до почала|розпочала,зачала| проходження нульовими. Проходження кожної вершини вносить 2 в ступінь|міру| цієї вершини. Оскільки ейлеревий| цикл містить|утримує| всі ребра, то коли обхід буде закінчений, буде враховані всі ребра, а ступені|міри| вершин – парні.
Всі чотири вершини мультиграфа, показаного на мал. 12.5, мають непарні ступені|міри|. Тому цей граф не володіє ейлеревим| циклом, а завдання|задача| про Кенігсбергськіх мости не має рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|.
Розглянемо|розгледимо| для порівняння граф, що володіє ейлеревим| ланцюгом|цепом|. У графі на мал. 12.6 тільки|лише| дві вершини мають непарний ступінь|міру|, отже, ейлеревий| ланцюг|цеп| є.
Мал. 12.6
Ланцюгів|цепів| може бути декілька. Наприклад, граф на мал. 12.6 має два ейлеревих| ланцюга|цепи|: 1-2-3-4-1-3 і 1-2-3-1-4-3.
Ребровий граф
Розглянемо|розгледимо| двох графів G і L(G). Граф G має довільну форму, а вершини графа L(G) розташовані|схильні| на ребрах графа G. В цьому випадку граф L(G) називається ребровим графом по відношенню до графа G.
Англійська назва ребрового графа – line graph, звідси і позначення графа – L(G). На мал. 12.7 показаний ребровий граф (він виділений жирними лініями), побудований|споруджений| для графа з|із| мал. 12.1.
Мал. 12.7. Ребровий граф
Теорема
12.6.
Якщо
– статечна|поважна|
послідовність (n, m) графа G, то L(G) є (m,
)-графом,
де
. (12.3)
Для графа G, показаного на мал. 12.7 (і мал. 12.1), його статечна|поважна| послідовність: 1-3-2-3-3. Тому
.