Лекція № 12. Неорієнтовані графи
Основні визначення
Граф
– це сукупність двох множин|безлічі|:
вершин
і ребер
,
між якими визначено відношення|ставлення|
інцидентності.
Кожне
ребро e
з|із|
E
інцидентно
рівно двом вершинам
і
,
які воно сполучає|поєднує,з'єднує|.
При цьому вершина
і ребро e
називаються
інцидентними
один
одному, а вершини
і
називаються суміжними.
Прийнято
позначення n
для
числа вершин графа (потужність
множини|безлічі|
):
і m
для
числа його ребер:
.
Говорять, що граф G
є
(n,
m)
граф, де n
–
порядок|лад|
графа, m
–
розмір графа.
Якщо
всі ребра
графа неорієнтовані, тобто пари вершин,
які визначають елементи множини E,
неврегульовані, то такий граф називається
неорієнтованим графом, або неографом|.
На мал. 12.1 показаний приклад|зразок|
неографа|.
Цей граф має п'ять вершин і шість ребер.
Мал. 12.1
Маршрут – послідовність ребер, в якій кожні два сусідні ребра мають загальну|спільну| вершину. Граф зв'язний, якщо будь-які дві вершини сполучені|з'єднані| хоч би одним маршрутом. Число ребер маршруту визначає його довжину.
Ребра, інцидентні одній парі вершин, називаються паралельними або кратними. Граф з|із| кратними ребрами називається мультиграфом.
Ребро
називається петлею
(кінцеві вершини співпадають|збігаються|).
Граф, що містить|утримує|
петлі і кратні ребра, називається
псевдографом.
На мал. 12.2 показаний псевдограф.
Мал. 12.2
Ступінь|міра| deg(v) вершини – це число ребер, інцидентних v. У неографі| сума ступенів|мір| всіх вершин рівна подвоєному числу ребер (лема про рукостискання):
. (12.1)
Петля дає внесок|вклад|, рівний 2, в ступінь|міру| вершини.
Статечна|поважна| послідовність – послідовність ступенів|мір| всіх вершин графа, записана в певному порядку|ладі| (за збільшенням або убуванню).
Приклад|зразок| 12.1. Статечна|поважна| послідовність неографа|, зображеного|змальованого| на мал. 12.1, записана за збільшенням, виглядає так:
=1,
=2,
=3,
=3,
=3.
Сума ступенів|мір| всіх вершин графа рівна:
.
Цей результат не суперечить|перечить| лемі про рукостискання, оскільки граф має шість ребер (m = 6).
Матриця
суміжності графа
– квадратна матриця A
порядку|ладу|
n,
де елемент
рівний числу ребер, що
сполучають|поєднують,з'єднують|
вершини i
і
j.
Приклад|зразок| 12.2. Граф, показаний на мал. 12.1, має наступну|таку| матрицю суміжності
.
Матриця
інцидентності I
–
ще один спосіб опису графа. Число рядків
цієї матриці рівне числу вершин, число
стовпців – числу ребер;
=1,
якщо вершина v
інцидентна
ребру e;
інакше
=0.
У кожному стовпці матриці інцидентності
простого графа (без петель і без кратних
ребер) міститься|утримується|
по дві одиниці. Число одиниць в рядку
рівне ступеню|мірі|
відповідної вершини.
Приклад|зразок| 12.3. Граф, показаний на мал. 12.1, має наступну|таку| матрицю інцидентності
.
Граф
називається підграфом
графа
,
якщо
і
.
Якщо
,
то підграф називається остовним|.
Компоненту зв'язності графа – максимальний по включенню|приєднанню| вершин і ребер зв'язкової підграф.
Ранг
графа
,
де k
–
число компонент зв'язності.
Дерево – зв'язковий граф, що містить|утримує| n – 1 ребро.
Приклад|зразок| 12.4. На мал. 12.3 показане дерево, яке одночасно є|з'являється,являється| остовним| підграфом графа, показаного на мал. 12.1.
Мал. 12.3