25. Переход от координатного способа задания движения к естественному

При естественном способе задания движения точки задаются траектория и закон движения точки по траектории как функция времени – S=S(t) . Задание траектории осуществляется различными способами: уравнениями, в виде графика и т.д.  Примером естественного способа задания движения является расписание поездов.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на заданной траектории точку O , принимаемую за начало отсчета расстояний. Расстояния в одну сторону от точки O по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую сторону – отрицательными. Обычно за t = 0 принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку O .

Таким образом чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать:траекторию точки;

начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направления; закон движения точки вдоль траектории в виде S=S(t).

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовые координаты выражаются в виде  и после интегрирования – в конечной форме если

26. Кинематика точки. Кинематика прямолинейного и вращательного движения твердого тела.

Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

Положение точки М₀ определяем радиус-вектором . Если точка движется относительно системы отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент времени : Обозначим через S длину дуги траектории, отсчитываемой соответствующим знаком от первоначального положения точки на траектории :

Тогда, очевидно,

Годограф. К началу неподвижной системы координат О приложим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости движущейся точки. При движении точки М по ее траектории точка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ускорению точки М.

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме: t=0; x=x₀, v_x=v₀.

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, или координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изменяют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v₀. (t=0, x=0, v_x=v₀) используя начальные условия получаем С₁=v₀ из начальных условий определяем С₂=0 и в результате закон движения точки имеет вид:

Пример 2.

Точка массы m движется из начального положения покоя по действием переменной силы F=kSint. (начальные условия - t=0, x=0, v_x=0)

Из начальных условий определим (t=0 C₂=0)

Получаем, что тело будет двигаться равномерно с постоянной скоростью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид: